多理场仿真百科

结构力学应力和运动方程

应力和运动简介

当固体时，材料会内力分布分布分布，这称为，这应力，它它面积的。。

在横截面一个受轴向力F载荷作用中，力方向的为为。日常中，我们观察到，越到到到承受的大大。因此

除了上图的种特殊情况情况以外，整个整个以外的应力应力大小和

当力作用表面时产生的称为称为正应力；沿切向于的力所引起的称为称为剪切应力。

动量平衡

根据牛顿定律，体的（应力应力）必须必须与和惯性力平衡

其中表面表面，其中其中的质点整个变形变变变变变变变，并并保持变，并并变形不不不不会导致导致导致材料失去连续性连续性da，法矢为n；在后，分别分别为为da和n。这个是体的，也外表面外表面体内任意位置的纯。。。

作用在区域上表面力可以表示为

其中，，t_n称为牵引力，而t_n通常称为标称牵引力，原因是实际状态下作用力未变形关联。。。

牵是面积的力如果如果过程面积了了变化变化，则了变化变化变化，则两两两个个个

我们可以牵引力的分量分量t_一世来表示引力，并用其分量分量n_j来表示有关坐标系和材料的的，请参阅讨论讨论的变形分析页面。

此外，我们我们基于法矢牵引分量为以下线性：

在此下文，假设假设重复求。空间和和材料分量分别使用使用小写。。。

这种表示称为柯西定律或柯西公式，仅适用于p_IJ为特定张量的分量。。

对于任意变形的材料体积v₀，动量动量用下积分：：

其中，，表示体积力，如或心力，速度心力心力移场移场移场计算为。

根据散度，使用柯西可以将面积分转换为

由于体积任意

或者使用张量：：

张量p称为第一piola-kirchhoff应力张量，它空间的与与构型中区域关联起来起来。两点张量。一般，这个这个不对。。

在实际构型中，可以可以牵引矢量矢量t_n和材料类似方法，由此，矢量此：

张量称为柯西应力张量或真实应力张量，原因是与变形相关构型中力。该张量由由其空间分量表示

（其区域区域区域区域区域区域区域区域{0,0,1}，并且并且可下式出出

33个来的应力张量上上第第第（平面平面平面法向法向法向与相同相同相同相同相同的的的的的牵引矢量正应力。另外应力分量提供与平面牵引力部分，这部分，这种称为称为剪切应力。

通过对立方体平衡，可以平衡平衡柯西应力是是对称，因此，只要没有作用，这个就成立这材料并不常见常见，但，可以，可以Cosserat理论进行分析。

piola-kirchhoff应力应力应力应力应力对同个表面力有有着不同，

要确定种应力方式之间的，我们关系关系关系关系关系南森公式计算变形的变化，表示表示为为

其中，，F为变形梯度张量，由由得得

体积因子j可以给出的变化。，应力因此因此因此通过下式与关联关联

通过引入一称为基尔霍夫应力张量（定义为）的，可以进一步公式及基尔霍夫张量是一个几乎几乎没有实际用途用途物理量物理量，但的物理量物理量

质量守恒和公式

根据柯西应力，动量动量方程写为

请注意，方程中密度已变形真实密度此外，体积力，体积力为单位体积上的由于由于质量守恒，密度密度隐含相关

从计算来，引入引入非线性了种动量方程方程关注度关注度。。

通过使用速度基于X=X（（X，t）将自为坐标坐标坐标，可以

这就欧拉的动量平衡。种公式通常用于流体动力学，其中其中速度因。。

机械能平衡

将动量微分乘以矢量矢量，并材料对进行进行积分积分，可以积分：

这个方程了机械能平衡的，也，也称为幂定理。速度的梯度为，其中：运算符表示两指标求；；。变形分析页面对速度的特性了详细论述。

方程右侧个项表示体积力功率功率输入输入输入

左侧的为变化率以及提供的功率。弹性材料，应力材料材料材料材料

通过使用以下关系式

应力功率表示为等：：

因此，我们得出一：piola-kirchhoff应力应力和形成了了了了了能量共轭轭。种种共轭对可以称为称为功率共轭或功共轭应力和应变。

速度梯度为对和反对称，分别部分部分部分部分应变率张量（l_d）和自旋张量（l_w）。。是的的，，因此，与功率功率轭轭是张量后者可以

其中

为格林-拉格朗日拉格朗日张量。由此，应力功率可以改写：

其中

称为piola-kirchhoff应力张量，这是个称张量

piola-kirchhoff应力应力应力应力应力应力通过下式：

基于此公式，我们可以动量平衡：

再结合形式的本构关系

可以形成移矢量的封闭。。

旋转平面上应力分量

对于承受载荷的，我们我们很应力应力应力应力看作一，并并这杆只正应力。为为

在X轴杆的的中表示的的的，而的，而其他其他其他坐标系坐标系坐标系坐标系能看出一。在这个表面上上上上上上上（（（（（（（（应力τττττ）应力

在第一表面一致旋转旋转坐标系，应力中中中如下如下如下如下

其中，，表示杆轴表面法线的。。

这种应力通常称为单轴应力；不过，只有特定坐标系，它中，它能单正。。

piola-kirchhoff应力应力应力应力应力比较

我们设想各向异性，其中材料材料悬臂梁的特定方向上。。。

piola-kirchhoff应力沿应力沿应力沿，因此定义，我们，我们可以通过将纤维方向方向可视化视化

在中，由于的端作用作用作用，导致导致纯力矩作用发生发生弯曲弯曲。我们我们我们可以可以看到看到看到看到看到看到柯西应力柯西应力和类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类11会的分量分量分量分量会会会随着的发生而。另另另一一，piola-kirchhoff应力

piola-kirchhoff应力应力应力难解释，原因更难它与原始面积或

发布：2018年4月19日
上：2018年4月19日