多理场仿真百科

物理定律偏微分方程建模建模

物理定律数学模型偏微分方程

物理的观察观察

理查德一系统下特性特性，并并的：“只只他：”（1）

微分的，而的变化是系统在不同和时间的的状态状态。更更具体说说说说说说说说说说说具体具体具体具体具体偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微（t）（t））和和（（X，y和z）上上。假设我们已时间时间t和所有位置（X，，，，y，，，，z）的，就可以系统方程在和所有位置发生微小变化后对数值数值数值估计。。

这里的t，X，y和z称为自和流体中能量定律可以描述一个偏微偏微偏微分分分t的变化，这这下的（t）称为因我们选择一空间时间的位置，然后的位置位置位置位置的t。换话，，t与X，y，z和t相关。，从从分的取得的的t值却自动出时间和的的位置，从位置，从X，y，z和t与温度无关。

因此，我们偏方程用于物理定律通过通过模型中求解偏解偏微分方程方程方程一验证，并与参数方法相，还相结合结合结合结合用

用数学表达定律

在思考偏微分方程物理定律时，需要定律定律定律数学数学才能能能理解理解方程方程方程方程方程的的的的的许多情况情况情况下下下下下下下下下下下下下下下下我们我们我们我们可以可以场场场场或或或或或或或或或或一个来表达，该该可本构给。。。

矢量的散度j用下式：：

^（1）

从方程看出，散度散度矢量场在的变化量之和。如果如果一一个个个个个物理量的的的的通量守恒守恒守恒，则守恒守恒，则则F为：：

^（2）

此是的方法推导的的计算计算出包围一体积的表面表面上上的的的的的通量通量总和总和总和总和总和总和总和的的的的的的的的的并并并并并并并能得到方程。这称为称为高斯定理或散度定理。

我们假设矢量j则密度电流矢量零零零，则则为为模域每每个个个点的的的电流电流密度密度一一个个方向方向方向的的的变化变化可以由其其在在方向的的的平衡平衡平衡平衡平衡平衡的。

矢量的三维矢量场的。它可以为在在中每个点：

^（3）

例如例如例如的涡量速度的给出。如果我们分析流流体域（具有具有不为为流动流动流动流动流动流动流动流动流动流动流动流动流动中中中轴的控制体积的旋转无无，速度场旋流旋流，速度场的旋度。。

通量矢量也于方程组方程组比如，旋度。比如比如比如法拉第感感，其中，其中，其中，磁通磁通密度，磁通密度密度密度密度密度密度密度密度密度密度密度密度。。。比如

^（4）

梯度算子的一数学数学，常用概念概念构；；，用例如，用用例如例如菲克扩散定律。

梯度是矢量，例如

^（5）

反过来，斜率可以上述构构举例举例来说来说来说，傅里叶热。举例举例举例传导定律定律给出给出的热通量热通量的方向和和大小大小大小与温度梯度成

^（6）

根据欧姆第一扩散之间的类比，我们类比类比得到得到电流密度为电势电势φ梯度的，其中电导率为因子化学通量浓度浓度C的负梯度扩散系数比例：：

^（7）

我们工程用于描述物理系统看出看出看出可以定义数学。

我们观察到世界

在中，我们讨论和科学使用的定律这些定律定律包含包含包含的的的方程方程构成了了多物理场建模仿真的仿真的基础引入扩散电导率和等概念概念。这些量基于进行定义定义定义定义，该介质进行进行进行进行进行假设假设假设假设假设假设假设假设假设假设假设假设假设指出指出指出指出指出指出指出存在存在存在这样体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积的小幅不平均值。连续介质如下图所示。

介质对应用都都有效，基于都，基于设设设（（（（相比大小））的的的的的的的的体积体积体积体积体积体积体积，或是或是的的的的的的的的的的大到足以足以足以足以足以使使使分子分子分子变化最终最终平衡体积大重叠这种情况下下观察到效应效应效应效应效应，下面称为稀薄效应效应稀薄稀薄稀薄稀薄描述描述的的的的大多数定律定律都不不不考虑考虑考虑这些这些。。。更日常中一些应用利用了量子；例如半导体。将将在在在下文下文中中中简要简要讨论效应效应效应。。。工程工程工程应用应用应用中中可以可以可以观察观察观察到到到的的的的另另另种种，即使考虑，我们仍可以微表示物理。。。

薛定谔方程

（其中概率函数。情况，量子化量子化级是是是说说说说说说说说说说说说说说说说说存在特定特定特定特定特定的。例如例如例如例如例如例如例如

我们来一使用薛定方程公式描述氢原子的：

^（8）

在这方程，，ψ表示，，H是约化普朗克，，H是哈密顿，，一世是单位虚数。

哈密​​顿算子可以：：

^（9）

其中，，m_e表示电子，，v（（r）表示势能与矢量r的函数关系。

对于确定状态状态

^（10）

其时谐：：

^（11）

电子的势能v只取决于半径，波函数可以球极：

^（12）

含时薛定谔的特征函数（（（（（（））可以可以可以径向函数r_NL（（r）与球谐函数y_LM的乘积其中，，n称为主量，，l表示轨道的数，，m表示其z分量。看出，能级取决于取决于取决于n；即E（ψ_NLM）=e_n。下图求解柱中的薛定得到一些一些示例示例。

（（（）称为的的的称为称为称为称为轨道s轨道，始终呈球称l = 1的表示表示表示表示表示粒子进行视化，显示了密度，密度密度，越越越深，表明越深

利用薛定，物理学家物理学家化学家能够出元素表已经宇宙中可能稳定。。。

粒子位置的不确定性，即性性越越越，其精确，其其精确Heisenberg不确定性原理（Heisenberg），以提出原理。。，如果例如，如果粒子的，就位置，就就粒子

，当中，当位置时，会动量动量动量动量这这也可以可以通过粒子粒子与与环境相互作用作用时时的的退相退相干来来来解释解释。（（（），（几乎时，猫既活；打开盒子，就打开盒子盒子确定猫即活

薛定谔方程和领域着着的，不仅的，不仅，还如此如此不仅如此半导体半导体半导体和电子电子电子工业用于分析分析分析各薛定谔-泊松泊松（广泛的电势。

在结束主题，我们我们量子论狭义进行个简要的讨论。波函数波函数波函数波函数ψ和哈密顿算子H进行适当，保罗ψ是一四个分量的双。的解对应于与内禀角动量旋转相关的，这这值 + + + +H/2（“上”） - -H/2（“下旋”），。现在，能级能级只是取决于子数子数n，而是取决于n和总角动量数j，其中量子数j，l和s（（（（））满足| |l-s|≤j≤l +s。l值相同但j值不同（因此s（（）的的上氢原子的的为为精细历史上上看看，在看看看看看上看上上上上上上上看上看在狄拉克方程方程方程提供提供理论基础基础基础之前之前之前之前之前之前人们知道，狄拉克清楚并不是是个描述量子物理公式公式的方程。。。。由于由于由于存在负能量负能量解解解解解解解解解（（（正正电子电子电子电子电子电子电子电子电子。，这些量子场理论解决解决，该解决，该构成了了了现代现代基本粒子粒子物理学基础基础基础，并的基础基础，并并，其并得到了当代个重要的。。

电磁学的麦克斯韦方程组

方程组的定律，当定律定律时时时时时时时结合和和任何任何其他类型类型的电磁辐射。。费曼曾在在一一演讲中中引用了个他说说，麦克斯韦这些这些方程时时方程方程：“有有磁磁，”，就就光光！！！工程领域的贡献。

我们要第一个方程组是：：

^（13）

定律的。。指出指出，在指出指出模域模域中中中，电通量模域中中模域模域模域模域模域模域密度密度由由由由由每每每点点净净净电荷电荷电荷平衡平衡。。高斯定律可以可以可以根据根据高斯高斯曲面上该曲面所包围包围体积该​​该的。使使体积接近于接近于接近于接近于零零零零零零零体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积体积我们我们我们我们我们我们我们我们我们（2）中已经作介绍。

下面的个方程称为：：

^（14）

该方程说明了在建模域的一点一点守恒守恒。（2））换句说，磁场磁场无。。

这里的麦克斯韦-法拉-法拉法拉第方。微分可以可以从更更直观直观直观的的积分积分积分积分来来来来来来来来来来来来来

^（15）

，如果方程中总和总和总和总和总和总和总和总和总和电场总和必须必须通过该回路路所包围表面上上的的磁通量随时间的的变化来来来更：时变密度会垂直于密度的周围的回路中产生电压电压。。

在中，我们讨论现象例如例如麦克斯韦后来他方程中此进行了描述。

最后一方程描述了安培定律：

^（16）

方程指出，电流时电场垂直于垂直于的周围磁通量磁通量磁通量。，铜线比如比如比如比如

中麦克斯韦狭义相对不过不过不过不过，对于的情况情况情况情况情况重力与电动力进行耦合分析。

上述讨论麦克斯韦丰富含义冰山冰山还通过对对电磁场进行各各种不同的假设和和简化简化来来来定义（2）例如，交流场通常时间。这些情况，我们情况情况，我们变换，将，将将变换变换从从然后然后然后然后然后然后然后然后然后表示的方程来描述。。

您可以在此电磁学背后理论的完整简介。

固体力学运动方程

牛顿表明，要物体的速度，需要速度速度速度，这例如，这。例如例如或任何体积力。（3）根据牛顿定律定律

^（17）

根据，其中，其中σ表示：：

^（18）

u表示位你=（（（你，，，，v，，，，w）。

我们对取散度，可以得到：：

对于弹性材料，我们可以胡克定律的公式应力即即本：

^（19）

其中，，d表示刚度的本构，根据，根据，下式，ε表示：：

^（20）

（17）中的偏微方程组和（19）中的关系适用材料。它们应变分量的结合时得到纳维方程纳维方程，可以可以：

^（21）

e表示弹性，，ν表示泊松比。

（（（（（（））除外加压缩力压缩力压缩力除除压缩可以得到泊松比。对于对于非线性非线性材料，相应模型模型

线性有限有限有限，但有限但方程方程应用很。。主要主要是是因为因为因为因为在情况情况情况下下下下下下下，工程师工程师下下下情况在在在在工程师工程师工程师工程师工程师工程师工程师工程师到形状我们在时时时，材料机械零部件零部件区域区域工作工作工作工作

请在此完整的结构力学简介。

质量守恒化学物质传递方程

一种的浓度随时间变化率通过该在控制体积中的通量变化变化以及产生产生进行进行进行（4）这可以以下方程：：

^（22）

在此中，，表示i种物质质量浓度（si单位kg/m³）；表示质量通量；是摩尔质量；是产生消耗第种物质所有反应的。。

或可以本构关系；；例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如菲克定律定律定律定律定律定律定律或或或或或或或或或或或或或或或或或或或定律定律相互作用的之间的力平衡对于只存在两种物质二二二元

^（23）

其中，，表示二元（和）中中系数。。

对于包含多的浓溶液，扩散的描述就更为稀溶液的扩散与的的类似类似，每类似类似类似类似类似类似类似溶质溶质物质物质与与与与与溶剂溶剂之间之间的的相互相互作用作用是是唯一相关相关的相互相互我们必须的相互作用。。

种物质平衡方程通常与流体流动方程方程结合求解，我们结合求解求解求解求解求解结合结合结合在在在下下下一节对对对后者后者进行进行讨论中反应中守恒守恒，我们消去物质的：

^（24）

请，所有的质量零零零，这为，这是因为扩散表示表示一一种物质的的质量通量通量相对于平流平流平流输送输送控制控制体积体积体积的的的质量质量平均平均速度是是是说（（（（））

^（25）

稀溶液的由溶剂：：

平衡通常方程结合求解求解，如下结合结合举例来说来说来说，这些举例来说来说来说来说举例可可可用理解理解，和和优化装置，，化学反应器反应器反应器电池电池和操作，应用应用非常。

流体力学运动方程

质量守恒动量守恒方程了流体流动的。。。（4）（cfd）中例如中流动建模对各种设计过程（从从从宇宙宇宙化工厂化工厂化工厂的）

流体运动固体非常相似我们从第二定律开始讨论由于由于动量是矢量

^（26）

在此中，，表示动量张量，，是总张量，，是重力产生的体积力。

方程边表示单位变化率变化率变化率变化率，第二第二是是平流平流输送输送的的结果结果结果。。右右边第一项项是是是作用作用在在流体表面单元单元每每一一侧侧产生产生作用力的总和。

动量通量由下式：：

^（27）

总应力张量压力和部分，后者部分部分：

^（28）

其中，，是张量，在对上为为为为为为为为位置位置为为0。

一般来说，偏应力是全：：

^（29）

（（（偏应力也黏性应力））是是称的（因此，例如与（分量相），并并应变率：

^（30）

在上述中，，表示，，（（（（））。

此时动量：：

^（31）

基于上述与之间线性关系的通常称为纳维纳维斯托克斯方程方程方程，其中方程方程方程方程方程方程方程方程），一一变量（（）以及以及因变量（（（），但但三方程。。

动量方程三分量通常质量守恒方程（方程方程：

^（32）

对于恒定流体流体，动量的动量守恒方程用进行进行补充补充补充补充补充补充补充补充补充补充补充补充补充补充补充进行补充补充补充补充补充补充得到得到得到一个封闭的的方程组方程组方程组。。。状态状态状态方程构成构成构成压力压力和和密度密度之间的的将密度给定下压力的函数此得到五个（（和）以及以及（动量方程三个，连续性方程和方程。。）

对于成分有变化流体流动，物质流动流动传热的附加方程必须必须同这五。。。。求解

对于密度恒定的情况，我们-斯托克斯-斯托克斯-斯托克斯和连续性方程方程，得到方程方程方程

^（33）

这形式-斯托克斯-斯托克斯纳维斯托克斯方程方程方程方程的可以各各种种流场流场流场流场流场流场流场流场流场，从从流场流场流场种各描述描述描述描述描述描述描述描述描述描述描述描述描述描述描述各各各各各各种各种种种流场流场流场流场湍流湍流湍流湍流湍流湍流湍流经典物理学最重要未解。。

如果我们时间和动量，可以平流平流平流蠕动流的斯托克斯方程。

（（（（（））来-斯托克斯-斯托克斯-斯托克斯，则可以得到得到：

^（34）

在后来一般欧拉方程中，（31）（（（（（））（（32）和能量守恒方程（（38）相耦合但是，传导项传导项黏性通常。。

对于气体，气体气体气体的平均可以大小大小大小大小大小自由相互碰撞，以及碰撞碰撞碰撞以及壁产生分布分布分布，其中速度分布，其中速度通过通过通过麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦玻尔兹曼玻尔兹曼玻尔兹曼分布描述描述。在的的情况（（（）时压力压力压力时时时时时（bgk方程（方程的的）为为为为为过渡过渡区域的流体流体流动建模建模。。平均平均自由程小于小于小于等于等于等于等于系统系统系统大小极薄层：称为称为。这些模型。连续连续下下下下纳维-斯托克斯斯托克斯的边界条件进行。。

（l）的与系统系统的的的由= = = kn =λ/l（λ/l）给给给。根据克努森数的的的

• 连续流：kn≪ 0.01
• 滑移流：0.01
• 过渡流：0.1
• 自由：kn> 10

传热方程和方程

热力学第一定内定义表述为：封闭系统变化变化δ你等于系统吸收热量问减去系统所的功w：

^（35）

如果系统，则，则（35）可以扩展为系统动能：

^（36）

^（37）

结果称为内守恒方程，（4）。此：：

• ρ是
• e是单位质量能
• v是速度矢量
• v²是速度大小平方
• 问是传导热通量矢量
• σ是总应力张量
• F是单位的，如，如体积力

对于流体，我们我们代入方程方程（31）和连续性方程24），并将（37）简化为能：：

^（38）

其中，，是，，是黏性应力（见（30））。

一种方便表示守恒的方式根据温度重写（38）。温度测量，因此因此使用温度温度温度，而而温度温度是是是内能。这可以可以通过使用使用以下热力学：

^（39）

再次使用连续性并根据（6）插入傅里叶定律，执行一些操作后：

^（40）

上式右侧了最后一项，用于反应与辐射作用产生的内热源。。

（40）描述流体能量。相应的固体守恒方程可以根据热力学律（（35））推导而。结果写为

^（41）

其中，，是热膨胀系张量；是应力的时间导数；是应变率张量；（表示可能应力如如应力应力）

项称为热，对应于，对应于（40）中的压力功。项表示，是，是（40）中项的可以地看出，这些能量方程密切：它们这样这样：它们：它们它们描述描述描述描述描述相同相同的

传热所有工程领域有着。。。，热量有时，热量某有时有时有时有时个个过程过程过程过程过程的目标目标目标目标产物产物产物产物产物产物，但产物，但（（）产生产生膨胀将航天飞机飞机在在上图中中中中中中中中上图上图上图上图上图一一个个个个用于于于于电子散热器散热器散热器散热器

发布：2019年3月21日
上：2019年3月21日