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物理化，偏微分方法和数量建模GyD.F4y2Ba股份有限公司GyD.F4y2Ba

有限性法简介GyD.F4y2Ba

空间和时间相关性定律的物理定律通用GyD.F4y2Ba偏微分方程GyD.F4y2Ba（PDE）来描述。对于对于大多数的几何和所面对的问题来，可以能法求出这些偏微，可见，在通过的，在通知的情况下，可以是不错的GyD.F4y2Ba离散化GyD.F4y2Ba的GyD.F4y2Ba数字模型方程GyD.F4y2Ba，并可以用数量方法求解。如此，这些数码模型方程的解就是相应相应的偏微分类程的真实解。GyD.F4y2Ba股份有限公司GyD.F4y2Ba（FEM）就是用来计算计算出这些的。GyD.F4y2Ba

举例来源，某函数GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba可以是一击分公司进程中的因销量（即温度，电气，压力等）。可以根据下载达达式，通讯基代数码的线合数GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba近似为新的次数GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba_HGyD.F4y2Ba：GyD.F4y2Ba

^{（1）GyD.F4y2Ba}

以及GyD.F4y2Ba

^{（2）GyD.F4y2Ba}

在此，GyD.F4y2BaψGyD.F4y2Ba_{一世GyD.F4y2Ba}代表这些基数，而GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba_{一世GyD.F4y2Ba}则代表用来对GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba进行的GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba_HGyD.F4y2Ba下图。下图用一页一维问题明这一代。例如，GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba可以表示某一加入热在特定定（x）处的温度。附图中的线序数的值，在各图为1，在其他节点处为0.在这个子中，幂GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba的定义域在的GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba- 轴轴分（即这根杆的长度）。GyD.F4y2Ba

使用有限的好的好的之好的之好于之一是该方法在离散度的选择方面提供极大的自由（当时包括用于离散空选择极，在上面的中，这些单位均匀地分布在GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba- 轴上（虽然并不赞成会是这这情况）。在参数GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba的一个梯度较大的区域中，也可口使用较小的单位，如下所示。GyD.F4y2Ba

这两幅图都说明，选定的线路基位数在GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba- 轴方向上获得的GyD.F4y2Ba

旗性法的另另优点优点优点优点已经已经发表得较为之，原因就在分别方法方面的数码表述式和弱达达式之间的附近的关键词GyD.F4y2Ba见见面的部GyD.F4y2Ba）。例如，当数码模型方程GyD.F4y2Ba在整机上求解GyD.F4y2Ba时，该理解在误差误差估计或GyD.F4y2Ba边界GyD.F4y2Ba估计方向是有条不紊的。GyD.F4y2Ba

股有限性方法的历史，可见方法是在20世纪40年代初德裔美国数学家庭理查德诺特首首次的。才在结构力学之外的领域了普遍普遍的使用，成都的地址。GyD.F4y2Ba

幂方程，分子方程，偏微分方法和物理定律GyD.F4y2Ba

物理定律通讯应用数学语言来达达。例如，各类守恒定律（如如守恒定律，质质定律和动词守恒定律）都可用GyD.F4y2Ba偏微分方程GyD.F4y2Ba（PDE）来达达达。这些定律也可用相关空间（包括，密度，速度，电势GyD.F4y2Ba因销量GyD.F4y2Ba）的本文与达达达达达达达。GyD.F4y2Ba

微分方程包含有相应的表达式，可以在GyD.F4y2Ba自我筹码GyD.F4y2Ba（GyD.F4y2Bax，y，z，tGyD.F4y2Ba）进生变化时差。这一小幅变化也变变GyD.F4y2Ba

假设一个繁体有时变温度，但在空间上的变化。在这种情况下，通俗内能（热）守恒方程，就可以出在热源GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba的作用下，随着时间的小幅锰化进出发病的温度温度化的方程：GyD.F4y2Ba

^{（3）GyD.F4y2Ba}

在此，GyD.F4y2Ba表示表示，而GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba_P.GyD.F4y2Ba则代表热销量。温度GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba是因销量，时间GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba是自我筹码。参数GyD.F4y2Ba可描述描述温度和时间而而化的一种。方程（GyD.F4y2Ba3.GyD.F4y2Ba）表明，如果温度在时间而而化，则它必然会由热源GyD.F4y2Ba所平衡（或所引起）。此方程是用一页自给力（GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba）的分数所表示的一个分类方法。这这分类方程程被为主GyD.F4y2Ba常微分方程GyD.F4y2Ba（颂）。GyD.F4y2Ba

在某些情况下，当某一时间的温度GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_0.GyD.F4y2Ba为已知时（为GyD.F4y2Ba初始条件GyD.F4y2Ba），即可得到方程（GyD.F4y2Ba3.GyD.F4y2Ba）的一个，表达式如下：GyD.F4y2Ba

^{（4）GyD.F4y2Ba}

如此，该该体中的温度通过一个GyD.F4y2Ba分数方程GyD.F4y2Ba（GyD.F4y2Ba4.GyD.F4y2Ba）来到表示，其中的时空GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_1GyD.F4y2Ba就会有一件儿时间的♥GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_1GyD.F4y2Ba。GyD.F4y2Ba

物理属性常常会随着时空和空间发布。例如，该固体中靠近热源处的温度比其他其他略略高。在这种情况下，根据根据量守恒定律可导出导出个传热方程，该方程待时有空间GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba），如：GyD.F4y2Ba

^{（5）GyD.F4y2Ba}

同之前一流，GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba是因销量，而GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba（GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba=（GyD.F4y2Bax，y，zGyD.F4y2Ba））和GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba则是自我销量。该固体中的总绕组量矢GyD.F4y2Ba问：GyD.F4y2Ba=（GyD.F4y2Ba问：GyD.F4y2Ba_XGyD.F4y2Ba那GyD.F4y2Ba_yGyD.F4y2Ba，问：GyD.F4y2Ba_Z.GyD.F4y2Ba）表示，而GyD.F4y2Ba问：GyD.F4y2Ba的GyD.F4y2Ba散GyD.F4y2Ba则描述了热衔累累沿着空间坐标的变气。在笛卡尔坐标系中，GyD.F4y2Ba问：GyD.F4y2Ba的发出者被别为：GyD.F4y2Ba

^{（6）GyD.F4y2Ba}

因此，方程（GyD.F4y2Ba5.GyD.F4y2Ba）表明，在没有方向上有了改变时，如果如果通量发生了了化，以至于GyD.F4y2Ba问：GyD.F4y2Ba的发出（变致的总和）不为人，则必须有一个以及/或者跑空间GyD.F4y2Ba

可以GyD.F4y2Ba傅里叶定律GyD.F4y2Ba：GyD.F4y2Ba

^{（7）GyD.F4y2Ba}

在上行方程中，GyD.F4y2BaK.GyD.F4y2Ba表示数。方程（GyD.F4y2Ba7.GyD.F4y2Ba）表明，在导热函数为比例数的情况下，通行量与温度成成正正比。方程（GyD.F4y2Ba7.GyD.F4y2Ba）（（GyD.F4y2Ba5.GyD.F4y2Ba）中间）GyD.F4y2Ba

^{（8）GyD.F4y2Ba}

在此，遇数是以GyD.F4y2Bat，x，yGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaZ.GyD.F4y2Ba表示的。在某个分类方程中是用途一个上的自我幂的分数来说，该分别方程就被称称是（PDE），这是每个个都都（几几可方向中的）某个方向上的杂化。还还需的是，分段方程中的数量是用法的GyD.F4y2BaD.GyD.F4y2Ba来到的，而偏微分类程中的统计数量是用来的GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Ba来到的。GyD.F4y2Ba

除了方程（GyD.F4y2Ba8.GyD.F4y2Ba），还可以是的GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_0.GyD.F4y2Ba上的温度或者某个位置GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba_0.GyD.F4y2Ba上的交通量。此此知识可行使用于方程（GyD.F4y2Ba8.GyD.F4y2Ba）的初始条件和边界条件。在更多情况情况下，偏微分方程都都法通行方法来求解（即得出不成时间和下面的因变值）。有时，要得到一个如解析达峰，可以非常困难，甚至几乎是不可能的，例如方程（GyD.F4y2Ba8.GyD.F4y2Ba）中：GyD.F4y2Ba

^{（9）GyD.F4y2Ba}

在不用来法求解偏解偏分类的前提前提下，另一种方向就是通俗寻找近似的GyD.F4y2Ba数号GyD.F4y2Ba来源数码手程。股份有限公司法规 - 一对种类型的方法 - 一种种求解偏分类方程的数据方法。GyD.F4y2Ba

类似于上面提到的热能热能方程，可以推导出态守恒与质守恒的方程（这这个方程构成了体动力学的基础）。户外，亦可以推导与与问题问题中的电影和通量方程，从而得到偏微分程。GyD.F4y2Ba

继续这一讨论，让我们看看如何从偏微分类过程中推导出所谓的GyD.F4y2Ba弱形式公园GyD.F4y2Ba。GyD.F4y2Ba

源自然弱公共的有限性法：基位数和次数GyD.F4y2Ba

假定正在在研究的一个仪器中的温度分布由方程（GyD.F4y2Ba8.GyD.F4y2Ba）给给，但但正处于稳定，这就就着方程（GyD.F4y2Ba8.GyD.F4y2Ba）模型域ω的时分过程为零。GyD.F4y2Ba

^{（10）GyD.F4y2Ba}

户外，假定沿边界（GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Baω.GyD.F4y2Ba_1GyD.F4y2Ba）的温度已知，同时垂直于其他一些（GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Baω.GyD.F4y2Ba_2GyD.F4y2Ba在其余的边界上，在外，在外，在外，在外，在外，在外，在外的方面GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Baω.GyD.F4y2Ba_3.GyD.F4y2Ba）上为零。这些边界上的边界条件就成为：GyD.F4y2Ba

^{（11）GyD.F4y2Ba}

^{（12）GyD.F4y2Ba}

^{（13）GyD.F4y2Ba}

其中，GyD.F4y2BaHGyD.F4y2Ba表示表示数，GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_{ambGyD.F4y2Ba}表示环境温度。边界表面上向外的单位法向载荷GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba表示。方程（GyD.F4y2Ba10.GyD.F4y2Ba）至（GyD.F4y2Ba13.GyD.F4y2Ba）描述描述这一散仪器的数学数学，如下图所所。GyD.F4y2Ba

下一个是将方程（GyD.F4y2Ba10.GyD.F4y2Ba）的两边都都乘乘以GyD.F4y2Ba幂φ.GyD.F4y2Ba，并在域Ω上分：GyD.F4y2Ba

^{（14）GyD.F4y2Ba}

试函GyD.F4y2Baφ.GyD.F4y2Ba与方程的解GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba被假定属于GyD.F4y2Ba希尔贝特空间（希尔伯特空间）GyD.F4y2Ba。阿尔尔特特空间是一个有目的利的GyD.F4y2Ba结数空间GyD.F4y2Ba，并无所事具特点。它可以被作用是有一来，这些函数可以同载空间中的普通仪一定是例如，可以在该综合中生成数量的线路合并（这些函数有明显的长度，为GyD.F4y2Ba模GyD.F4y2Ba），并且可以像欧几里德矢载一一流仪表数之间的角度。GyD.F4y2Ba

实际上，可口通源有限备份方法简单地将这些销量为普通的幂。有限的方法是一个种系统性的方法，将极限结数空间中的偏光为有限偏分数空间偏置次数为有限的数量。最后再转换为可致幂数控方法处理的普通空间（在某一卷中间）。GyD.F4y2Ba

如果要求（GyD.F4y2Ba14.GyD.F4y2Ba）对函数空间中的没有参数都成都，不是方程（GyD.F4y2Ba10.GyD.F4y2Ba）对ω中的无力点成立，则可以得到弱形式公主。因此，基础方程（GyD.F4y2Ba10.GyD.F4y2Ba）的问题公园有时又为GyD.F4y2Ba逐点公园GyD.F4y2Ba。在我们所所的GyD.F4y2Ba伽五金法GyD.F4y2Ba中，假设解GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba同测试函数属于相同的希尔赫特空间。这通常写别为GyD.F4y2BaφεhGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaTεh.GyD.F4y2Ba，其林GyD.F4y2BaHGyD.F4y2Ba表示希尔尔特空间。使用格林第一恒等（实质上是行排分享分数），就可以推出以下程（GyD.F4y2Ba14.GyD.F4y2Ba）：GyD.F4y2Ba

^{（15）GyD.F4y2Ba}

通过要求此等式对尔尔特特空间中的GyD.F4y2Ba有没有GyD.F4y2Ba试函数都成成像，可以实现方程（GyD.F4y2Ba10.GyD.F4y2Ba）的弱形式公共或GyD.F4y2Ba变分公司GyD.F4y2Ba。之所以是“弱”，是因为其了（GyD.F4y2Ba10.GyD.F4y2Ba）的要求，也就是分法方程的各在每一个点上都被明显的要求。相反的是，没有在分段时的时候GyD.F4y2Ba14.GyD.F4y2Ba）和（GyD.F4y2Ba15.GyD.F4y2Ba“是的关于。例如，弱公公床完全允许解的一次偏差不少，为这种情况并不成分。但是为之了。GyD.F4y2Ba分布GyD.F4y2Ba则则不可能意义上的次数。因此，在不到上要求（GyD.F4y2Ba10.GyD.F4y2Ba）成因是没有意义。GyD.F4y2Ba

有时可以对某个分布进行分数，以使（GyD.F4y2Ba14.GyD.F4y2Ba）被明确定义。可以说明的是，弱公共化以及通（GyD.F4y2Ba13.GyD.F4y2Ba）得到的边界条件（GyD.F4y2Ba11.GyD.F4y2Ba）都是与通过逐点公共化求出的解直接相关的。户外，对于解GyD.F4y2Ba可分数GyD.F4y2Ba的情况（即二阶函数明显定义），这些这些是相同的。GyD.F4y2Ba10.GyD.F4y2Ba）推导（GyD.F4y2Ba15.GyD.F4y2Ba）的过程依赖于格林第一恒式，而其只有在GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba有了连续的二阶分数的情况立。GyD.F4y2Ba

这旗性元公公公馆化的第一次步。利用弱公式化，何有有可致以数学模型方程行行锰化，从而从而数码手程。可口利用五金法。可口利润的有限性公式化中的一本：GyD.F4y2Ba

首先，要要离散化，就意味着要在希尔伯特空间GyD.F4y2BaHGyD.F4y2Ba的旗子空间中寻找方程（GyD.F4y2Ba15.GyD.F4y2Ba）的近似解;如此，GyD.F4y2BaT≈T.GyD.F4y2Ba_HGyD.F4y2Ba。这就是说，近似解被表示为一个组子空间的GyD.F4y2Ba基数GyD.F4y2BaψGyD.F4y2Ba_{一世GyD.F4y2Ba}的线性合并：GyD.F4y2Ba

^{（16）GyD.F4y2Ba}

由此，对每个数GyD.F4y2BaψGyD.F4y2Ba_jGyD.F4y2Ba而言，方程（GyD.F4y2Ba15.GyD.F4y2Ba）的离散化形式即变为：GyD.F4y2Ba

^{（17）GyD.F4y2Ba}

这里的次数，就是数GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba（GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba）的近似解中的分数GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_{一世GyD.F4y2Ba}。随后，方程（GyD.F4y2Ba17.GyD.F4y2Ba）就就成了一条方程程，该方程组有限均已空间无所不用的维度。GyD.F4y2BaψGyD.F4y2Ba_jGyD.F4y2Ba中的数码GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba，使GyD.F4y2BajGyD.F4y2Ba从1一直变GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba，那么就可根据（GyD.F4y2Ba17.GyD.F4y2Ba）得到一个方程数量为GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba的方程组。方程（GyD.F4y2Ba16.GyD.F4y2Ba）中有GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba个未知的次数（GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_{一世GyD.F4y2Ba}）。GyD.F4y2Ba

一流的体内被离散离散并，根据根据下达边界就，根据以下达式就可得到得到得到得到得到方程：GyD.F4y2Ba

^{（18）GyD.F4y2Ba}

其中，GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba是未知销量，且GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_HGyD.F4y2Ba= {GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_1GyD.F4y2Ba，..，tGyD.F4y2Ba_{一世GyD.F4y2Ba}，...，tGyD.F4y2Ba_N.GyD.F4y2Ba};GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba则是一个nxn的矩阵，其其GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba_{吉GyD.F4y2Ba}中文的每个方程GyD.F4y2BajGyD.F4y2Ba都有没有参数GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_{一世GyD.F4y2Ba}。右边是维度从1到GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba的体重。GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba是GyD.F4y2Ba系统矩阵GyD.F4y2Ba，通信为（消除）的GyD.F4y2Ba刚度矩阵GyD.F4y2Ba- 这是有限性方法的首首使用，也是在结构正在结构力学中的用语。GyD.F4y2Ba

如果如果数在温度方向的是，非非数量取决于，那么该方程组温度，那么该方程组是非线的，幂GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba就成为了未知数GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_{一世GyD.F4y2Ba}的一个绕线阶数。GyD.F4y2Ba

有限又方法的优点之一是它能够选择命中数和基位。在非常小的几何区域的支集之上，是有可待遇和基位数的。这这意味，方程（GyD.F4y2Ba17.GyD.F4y2Ba）在任意一处为之 - 除非中GyD.F4y2BaψGyD.F4y2Ba_jGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaψGyD.F4y2Ba_{一世GyD.F4y2Ba}重叠的非常有限的区域上，为上游而不有的分数GyD.F4y2Ba一世GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BajGyD.F4y2Ba（或它们的梯度）的乘积。很难用三角空间来到数码和基位数量的支集，但其二维的类比，但其二维的。GyD.F4y2Ba

假设有一个二维的几域，并且选用了GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba的线路次数，每每函位在点GyD.F4y2Ba一世GyD.F4y2Ba上的第1，在其他点GyD.F4y2BaK.GyD.F4y2Ba下面一个是使用三重对这一流进行杂化，并为某一三角网格中的两个相邻节点GyD.F4y2Ba一世GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BajGyD.F4y2Ba给出基位数（幂位数）。GyD.F4y2Ba

两个相邻的基位数量共两个三角形的单一。因此，两个基位数之间有一般性，如上所示。户外，请注意，如果GyD.F4y2Ba我= J.GyD.F4y2Ba，则分数之间会完全重叠贡献贡献成了未知GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba的次数，这一未批量与系统的对对角的线谱分量GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba_{JJ.GyD.F4y2Ba}相对应。GyD.F4y2Ba

比如说，假设现出者这这个基位数量更进两个数不夹单位元，但它们有一个个共同的单位顶点。GyD.F4y2Ba

当这两个基数数目时，方程（GyD.F4y2Ba17.GyD.F4y2Ba）具备非零值，且对系统矩阵的贡献也非零。GyD.F4y2Ba

这意味着，在从1到GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba的节点上，对（GyD.F4y2Ba17.GyD.F4y2Ba）的方程阵线中的每每个方进程来源，它们都只能从共享个单位的相邻节点节点得到个非零的项。方法（GyD.F4y2Ba18.GyD.F4y2Ba）中的系统矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba变得稀疏，而对应于重叠GyD.F4y2BaIJ.GyD.F4y2Ba：GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba的矩阵矩阵数量的解可作为该偏稠密，近似解，近似解越接近。GyD.F4y2Ba

瞬态问题（时变问题）GyD.F4y2Ba

可以在瞬态（时变）的情况进一步定义该进热能衡。根据伽辽金方法，每每函数GyD.F4y2BaψGyD.F4y2Ba_jGyD.F4y2Ba的离散弱公共化可以制作：GyD.F4y2Ba

^{（19）GyD.F4y2Ba}

在此，参数GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_{一世GyD.F4y2Ba}是时代，而基位数和试函则仅于空空坐标。再再，在时间域上空的时间变数是不可思议的。GyD.F4y2Ba

一代方法是使用有限性法，但这种法可以会大量的计算资源。经常采取的另一道。GyD.F4y2Ba直码法GyD.F4y2Ba来到空间进离散的离散气。比如可口使用有限性法。GyD.F4y2Ba

^{（20）GyD.F4y2Ba}

给出的是方程（GyD.F4y2Ba19.GyD.F4y2Ba）中的两个可占极限分别GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_{它GyD.F4y2Ba}以GyD.F4y2BaT +ΔT.GyD.F4y2Ba的形式表示时，就可以得到第一嘴子：GyD.F4y2Ba

^{（21）GyD.F4y2Ba}

在面对性时，在每一代时间步长上都需要求解解性性的方程程。如果是绕线的问题，则必须在每个时间步长求解相应的钢丝性方程。GyD.F4y2BaT +ΔT.GyD.F4y2Ba是被方程（GyD.F4y2Ba21.GyD.F4y2Ba）隐含地给出的，所以这种时间推进方向案被GyD.F4y2Ba隐式法GyD.F4y2Ba。GyD.F4y2Ba

第二个公共则基础GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba处的解：GyD.F4y2Ba

^{（22）GyD.F4y2Ba}

该式表明，一遍在一起一六时时间上的解（GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_{它GyD.F4y2Ba}）已已，那么方程（GyD.F4y2Ba22.GyD.F4y2Ba）就就能地给给出GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba+GyD.F4y2BaΔt.GyD.F4y2Ba（GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba_{我，t +ΔtGyD.F4y2Ba}）处的解。换言之，对于一件儿的时间推进案，不在在每个时间步长上都求解一件方程。显式时间推进方便的是在有一个有一件事方的时间是有限的。对于热问题来说（如此如此所强调的情况），显式方法需要非常短的时间步长。隐式方向允许大大的时间步长，减少了如（GyD.F4y2Ba22.GyD.F4y2Ba）。GyD.F4y2Ba

在实践中，现代化的时间步步进算进算法根据s体问题自动在显式和隐式步进法之间。户外，方程（GyD.F4y2Ba20.GyD.F4y2Ba）中的分段方程牌为一卷多种，其其和步长可以变气，具体取决于和步长可引发和求解所需的时间。更多项式的阶次以及步长。GyD.F4y2Ba

下载几几个子，对对常用的几几方法加以说明：GyD.F4y2Ba

• 分公司（BDF）法GyD.F4y2Ba
• 广义αm.GyD.F4y2Ba
• 不合的跑步 - kutta法GyD.F4y2Ba

不错的单一GyD.F4y2Ba

如上所述，伽伽金法使用了与基位数和偏见的数量集。然而，即使这种方法，也可以通讯详细说明书（理论上是多多的）来统称（即伽辽金有限性公共公主中的单一）。让我们来到一下最使用的几几单位。GyD.F4y2Ba

对于二维和三维的线性函数，最常见的元素如下图所示。GyD.F4y2Ba此图GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2Ba上图GyD.F4y2Ba的英属基质数量（被定义在三角网中，形成了三角的线性性）。基于被被为之（二二时：GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba;三处时：GyD.F4y2BaX，Y.GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaZ.GyD.F4y2Ba）的次数。GyD.F4y2Ba

在二维面上，矩形单位常常常常用于于力学分享。它们它们可用于流体动力学（cfd）和传热建模中的边界层网格分数，后者也常被被被被结构力学和边界层网格分子。在从从体边界层层到到到四面四面四面四面四面过渡过渡中，群体单位通常被放置在边界层单位的顶端。GyD.F4y2Ba

下图显示的是相应的二阶二阶单独的请注意，也可以将所边和曲都定义为主的。拉格·日单元和巧凑边点元是二和三角英中的单位类型。拉格·日单元用下载下载没有的节点（黑色，白色和灰色），而而边点元则不使用灰色的节点。GyD.F4y2Ba

博客“GyD.F4y2Ba在多物理场中追踪单位阶次GyD.F4y2Ba“中给出了二阶（二次）拉格朗日元的二维图形，非常漂亮。在上面的单位的内部，很很用三重的形式描述次基因数码的基于这些二基代数码的基础，即可以用来色块来表示单元表面的数量数。GyD.F4y2Ba

在讨论有限的时候，需要考虑的一个重要因素就估计估计。原因在估计，当达到估计出的误差宽容度时，就会出发。请请，这里的讨论具有少数的，而不可属于特价的有限性方法。GyD.F4y2Ba

旗性法是数学模型的一个。数字方程的解与数学模型行程的精彩解之间的差值就是误差：e =GyD.F4y2BaU - U.GyD.F4y2Ba_HGyD.F4y2Ba。GyD.F4y2Ba

在乐大情况下，可以在得出数码方向程的大小就出误差的大小（即GyD.F4y2Ba先验GyD.F4y2Ba误差估计）。GyD.F4y2Ba先验GyD.F4y2Ba估计通讯常仅于于用股份。例如，如果某个问题是适定，并且相应的数码方法可以收敛，那么那么GyD.F4y2BaO.GyD.F4y2Ba（GyD.F4y2BaHGyD.F4y2Ba^αGyD.F4y2Ba）（其中α表示函数），随着通常的单一尺寸GyD.F4y2BaHGyD.F4y2Ba的减小，误差的模也会减小。由此可见，随着网格的加载，误差的模也会快速。GyD.F4y2Ba

不错，只有简单的问题才进行GyD.F4y2Ba先验GyD.F4y2Ba估计。户外，估计出的结果往往会包含不可思来的未知数，从而不可能给出销量的预测。GyD.F4y2Ba后验GyD.F4y2Ba估计使用的是近似解，并结合了相关问题的其他近似，以估计出误差的模。GyD.F4y2Ba

构造解方法GyD.F4y2Ba

一本非常简单的但通用的误差误差方法（用来数量方法和偏微分问题），就是对问题行略动机 - 如GyD.F4y2Ba这一篇博客文章GyD.F4y2Ba所述 - 使预定义的解析达达成为改表表。这种方法的真实解表未对数码方法或背后背后的数码方法或户外的数学本行过。另外，由于可爱的大小。通用，就可爱方法和何种的不合同方行的研究。GyD.F4y2Ba

让我们来到一个个子，对这一点进行。假设有一个数据方法可以是一个单身位正方词（ω）上的泊松方程进行求解，且且正方形具体齐次边界GyD.F4y2Ba

^{（23）GyD.F4y2Ba}

^{（24）GyD.F4y2Ba}

此方法可用对对改的问题进行GyD.F4y2Ba

^{（25）GyD.F4y2Ba}

^{（26）GyD.F4y2Ba}

其中，GyD.F4y2Ba

^{（27）GyD.F4y2Ba}

这里，GyD.F4y2Ba

是可以被自我选择的一个解析达达。户外，如果GyD.F4y2Ba

^{（28）GyD.F4y2Ba}

则GyD.F4y2Ba的是，当时可以的精灵，此时可以直接出误差大小：GyD.F4y2Ba

^{（29）GyD.F4y2Ba}

如此，就可以为不合因的离散气和GyD.F4y2Ba计算出误差及其模。如果如果动词问题的解与改改问题的特色，那么那么动词问题就可以用作未动词的近似就。在实践中，可以是改改。是这种情况 - 这是此方法的缺点。这这方法的优点在它它的简单的和普遍性数字方法。GyD.F4y2Ba

目标定向的误差估计GyD.F4y2Ba

如果可以从解中选择出一击数（或函数），并并其作用为一体念物来行误差估计，那么就可致过方法精密地估算估算此物种计算（或或。估计依赖于对偏微分方法程的GyD.F4y2Ba后验GyD.F4y2Ba计算，以及对所谓的GyD.F4y2Ba对偶问题GyD.F4y2Ba进问题与求解。对偶对偶问题与所的的数的（并由其）。GyD.F4y2Ba

这种方法的缺点在其依赖于“对偶问题”的精制计算，而且只给出了所数的误差（而只给出其他物）。这种方法的优势在其较高高高和较合理的资源消耗（用词误差）。GyD.F4y2Ba

网GyD.F4y2Ba

网格是一圈简单的方法，该方法比较了不错的网格分公司所所的近似解。在理想下，一个情况非常精密的网格分配方向所得出的近似解就可操作-GyD.F4y2Ba

^{（30）GyD.F4y2Ba}

在实践中，要对非常精密的网格分公司的细，所得的近似解也会越接近于真实解。GyD.F4y2Ba

下图显示显示一个椭圆形的结构力学基因模型;得益于对称性，只需要对该膜载荷进进进计算可口计算可了计算计算计算计算可了。GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba轴的边界被认为主。GyD.F4y2Ba

对GyD.F4y2Ba不错网格类型和单位尺寸GyD.F4y2Ba的数码模型方程传行求解。例如，下图描述了用于次基位数量的矩形拉拉拉拉拉函基数是根据GyD.F4y2Ba上图GyD.F4y2Ba得出的。GyD.F4y2Ba

根据更早给出的GyD.F4y2Ba这幅图GyD.F4y2Ba，对该点上的应力和应变进行了。下载的图形是的。下面的图形是的GyD.F4y2Baσ.GyD.F4y2Ba_XGyD.F4y2BaGyD.F4y2Baσ.GyD.F4y2Ba_XGyD.F4y2Ba除以计算出的GyD.F4y2Baσ.GyD.F4y2Ba_yGyD.F4y2Ba，以便为相对误差的估计给出正式的数量级。GyD.F4y2Ba

上图说明，随着各单击的单位尺寸（GyD.F4y2BaHGyD.F4y2Ba）的减小，相对误差也相应减小。在这种情况下，随着基因数码次（单位阶次）的升高，收敛曲曲也变得更。不错，需要注意的是，在单词尺寸一般的情况下，随着阶次的升高，数码模型中的数量录入欧会。这就意味着，我们会加上单位，我们也要为高度的精灵而付出代价，这种代价就是计算耗时的增元。GyD.F4y2Ba

网格自适应GyD.F4y2Ba

在计算出了这些数码方程的解GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba_HGyD.F4y2Ba之后，就可以用GyD.F4y2Ba后验GyD.F4y2Ba局部误差估计值来到一击密度更更大的网格，该网格有较大的。GyD.F4y2Ba细化的网格GyD.F4y2Ba来计算出第二近似解。GyD.F4y2Ba

下图描述了一个被加入的血型在受到稳态一稳态问题进进了次次求解：一个：一个人是用基础网格，另一才是用作一个陶瓷格（被基本网格计算出估计估计估计所控制控制控制控制控制所控制控制控制所所控制控制控制所估计估计所估计的GyD.F4y2Ba

墨水液滴与空气之间的界面。该界面是由相场分数的等所给出给出的，其值等于0.5。在这个界面上，偏见的值迅速地从1变为0.在此闲数的这些陡峭梯度的周围，我们可以使用误差误差来向来向往往来润泽的工作，而而则可以用来对网格含化，以便仅在相场等值面的面前才使用更细的网格。GyD.F4y2Ba

股票股票GyD.F4y2Ba

在上面述子中，我们为基位数和幂次使用了相同有有离散离散离散离散离散离散离散离散离散离散离散离散离散离散试函试函数不受约说不受限公司，则则公式GyD.F4y2BaPetrov-Galerkin法GyD.F4y2Ba。这是一击使用的方法;例如，在解决GyD.F4y2Ba对流 - 扩散GyD.F4y2Ba问题的传播中，只会对绕线方向向行稳定化管理。其其也被为GyD.F4y2Ba流线迎风/彼得罗夫 - Galerkin（Supg）法GyD.F4y2Ba。GyD.F4y2Ba

在聚合方程的求解程过程中，不合适的因销量会用途不合适的基位。一件儿的例子是GyD.F4y2Ba纳维 - 斯塔克斯方程程GyD.F4y2Ba的求解，其中的偏力往往比速度平等，更易进行。在某某方法中，如果一个含有的基础进入不锈数量的基部（以及函数）属于不断的幂空间，那么那么这方法便称为之GyD.F4y2Ba综合有限性法GyD.F4y2Ba。GyD.F4y2Ba

发布日期：2016年3月15日GyD.F4y2Ba
上行日期：2017年2月21日GyD.F4y2Ba