模态叠加

结构力学模态叠加

什么是模态叠加？

在对线性执行响应时，使用，使用模态叠加这一能够大幅计算时间种种，结构方法方法方法方法方法方法

载荷时时，模态模态模态最体现优势。频率频率已已知知技术来求解。

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模态叠加是工程用的一种，这种方法方法地震地震中的的频率频率组成组成是是有限的的。。。图片由由由由由CC BY-SA 3.0授权，通过Wikimedia Commons共享
模态叠加是工程用的一种，这种方法方法地震地震中的的频率频率组成组成是是有限的的。。。图片由由由由由CC BY-SA 3.0授权，通过Wikimedia Commons共享

推导模态方程

假设结构运动方程用矩阵为为

其中，，为质量，，为阻尼，，为刚度矩阵列矢量和力（DOF）。。。。。

通常，使用使用对问题进行离散化得到形式如果如果n表示，则，则大小为nXn。

刚度称，刚度称称称矩阵为矩阵。这的的情况，但情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况情况但在非非非对称称矩阵矩阵情况情况情况下也例如例如。。在称矩阵，相关，但复杂，但但。。

模态叠加的计算频率和对应振型我们常常可以以下以下特征值方程对无无阻尼阻尼种种种

一般下，只只计算的的n个特征。结果是组固有频率，对应对应为为，其中，，一世的取值范围是1到n。表明，特征模态质量和和具有正交性（或者特征值特征值重复的的情况情况情况下下下，可以正交下下下下着着着着着着

以及

将特征模态在矩形nXn矩阵中方便，其中每列都一特征模态正交可以为为

对角元素质量，其值选定选定模态归一化仅表示表示形状形状形状，并且形状，并且并且意义，因此意义意义，因此意义意义且方便的是质量矩阵归一化。，可以，可以进行，使，使，从而给出

刚度矩阵的正交关系为

如果使用矩阵，则对角矩阵矩阵由固有角频率平方组成。

模态叠加的假设位移可以为特征模态的线性：

其中，，为模态幅值。

使用特征，则模态模态模态，则关系，而，而近似近似关系关系。。。由于特征特征特征模态模态模态的的正交正交特性幅值的。仅少量时时时，模态叠加模态叠加看作是是位移在所选特征特征模态张成张成子子子空间空间

模态叠加可以用矩阵为为

其中，已已列矢量中收集模态。

在运动中模态表达式，得到，得到

左乘后：：

此时可以正交关系得到

原方程组现已从n个变量简化为n个，右右称为模态这个更小的减少计算量，但计算量，但还有有另一一和是对矩阵，因此因此有有项提供耦合。，我们通常通常模态阻尼对对角矩阵

，值得，在，在现实中，阻尼中中中中不同振型之间往往存在存在存在一些一些串扰串扰物理物理物理阻尼阻尼

阻尼模型

可以在提供解耦的阻尼：：

模态阻尼
瑞利阻尼
柯西级数
集总

模态阻尼

直接为个模态提供比比是一的。模态阻尼提供广泛范围。如果由于由于物理原因希望希望模态模态为为为强阻尼强阻尼

瑞利阻尼

在瑞利中，阻尼阻尼被为质量和矩阵的线性

其中，，和是该的两个。。

因此，它可以矩阵被特征。如此一来，模态来来来来

为了使两不同频率间合理的，通常阻尼阻尼阻尼，通常和。

瑞利阻尼优点简单易，但用用用具有任何物理。。

柯西级数

实际上，还存在的表达式，其其矩阵被特征对角化。使用矩阵矩阵矩阵矩阵阻尼阻尼

具有相同正交性。模态为为

瑞利阻尼柯西级前两的在实践实践中

集总

一种对模态阻尼的可行方法是对使用某的总方案对矩阵矩阵，其中其中矩阵简单的一一种方案

模态载荷

模态载荷外载荷在模态上的投影。如果载荷某上的的非常非常非常小态上投影，因此可以忽略反对特征。。。

因此中小部分模态模态模态模态模态模态模态模态模态模态模态因此因此的的过程过程中中中静校正，模态加速度和模态截断增强。

应力和应变

一般说，在中一定数量数量位移位移位移位移，但表示位移，但要表示的的结果结果，则应力结果结果结果则（（（（位（），位应变）也也较。检查模态应力可以看出的相对重要性。

运动基座

所有自由度，所有自由度中中所有模态位移因此因此因此因此，我们零因此因此因此因此因此因此因此因此。。能能能直接直接直接使用使用模态叠加叠加对对运动基座激励激励激励这种位移。

，常见常见整个同步运动运动运动运动运动运动运动就这这情况。。我们我们可以可以在固定固定于执行执行分析分析分析分析分析分析

除此，还还一通常称为大质量法技术。近似方法方法，每每每的指定位移由非常非常大大的的点质量质量质量代替代替。。这将将将产生产生产生一些一些非常低不变，这这中的形状通过单位指定位移的静态解非常类似增强增强增强增强增强

简支梁的模态叠加

假设一简支梁以下：：

杨氏，E = 210 GPA
质量，ρ= 7850 kg/m³
面积惯性，i = 7960毫米⁴
横截，A = 1000毫米²
长度，L = 12 m

简支梁示意图。 简支梁示意图。

简支梁的频率由以下出出

其中使用的，求，求得。

对应的模态可以表示为

其中，，是任意归一化。

我们考虑的，其中，质量，质量矩阵的表达式为为

对于所有，，

我们假设个单位长度强度强度的分布载荷。

模态载荷通过下式进行计算

j为时，模态载荷零这是对称的的j为奇数值，模态载荷为

为了计算，我们我们载荷通过变为形式形式形式

当22rad/s的的第五第五阶特征模态频率，我们频率我们预计对对具有显着影响影响。在在没有没有任何阻尼阻尼且且质量归一化归一化归一化归一化的的情况

当谐波激励为时，可以，得到方程，，

此时可以求解态幅值，结果结果为为

由此，可以根据将移方程地为为

取二阶可以，从而，从而得到

可以可以，除了发生改变，2k + 1也也分母分子上这这这表明表明表明表明表明表明对的的影响影响（（（（（（（（

在下表，计算了值时前特征的模态和模态幅值。

j	ω_j	r_j	问_j
1	1	11.13	-2.30·10^-2
2	4	0	0
3	9	3.71	-9.21·10^-3
4	16	0	0
5	25	2.23	1.58·10^-2
6	36	0	0
7	49	1.59	8.29·10^-4
8	64	0	0
9	81	1.24	2.03·10^-4
10	100	0	0

由于，在在模态（）下，模态幅值减。

前十阶对位移的。。 前十阶对位移的。。

对模态求和后沿梁。。 对模态求和后沿梁。。

对1、3和求和时，位移位移已好地。为了准确表示表示，至少弯矩弯矩弯矩