多理场仿真百科

结构力学特征频率分析

特征频率分析简介

特征频率或固有频率系统趋于的特定离散频率。许多类型的系统系统中频率频率频率频率频率频率频率频率，例如其中的概念具有普遍。。

当结构特征频率下振动，会时，我们的，我们形状，我们称为特征模态。特征只模态的的，而形状形状形状任何任何物理振动振动的的振幅振幅。。。仅当仅当仅当已知实际实际激励激励和和阻尼阻尼阻尼阻尼特性

确定结构频率结构工程的重要部分以下列出此类分析：

• 确定周期性不产生可能造成过度应力或噪声的的共振
• 确定周期性会压电振子等器件产生产生
• 基于所有频率高于负载频谱一事实，检查事实事实准准静态静态是否
• 研究适用于动态分析的时间步或选择选择
• 为基于的后续分析模态模态
• 通过振型，深入深入更改如何特定频率频率频率

_{440 Hz）下有频率（（下下自由振动位移被明显明显。。}

单自由度系统

无阻尼

我们来个质量块和弹簧简单作为入门入门介绍，如介绍介绍介绍介绍介绍

质量块的方程为

但是，如果质量受作用作用，则则存在非零解。证实证实

满足运动方程，但但是是

其中，，是固有角频率，单位rad/s。它与固有频率（：Hz）的的表示为为为。只要产生混淆，有时有时更的说法，直接，直接称为固有频率。

：质量可以：质量一旦振动过程，就开始过程过程过程没有任何外部外部激励的的的情况下下完全以以这个个频率频率频率进行自由振动振动例子例子例子例子频率永远但生活中存在的阻尼，所以阻尼阻尼阻尼最终最终会。。

上述特征在刚度和质量影响特征方面表现非常普遍普遍：

在自由振动下，系统能量质量块的弹簧应变能应变能应变能，反之亦然。。

阻尼系统

假设系统存在黏滞阻尼，则则方程为为

在分析时，使用复数非常方便，其中方便，其中表示。这法用于以下方程在表示法法，位移中中中中，其中为复数值在表示中，每中中中导数都能给出个因子。因此，在没有外力情况下，运动下下下为为

仅当为时，才才此方程对于情况情况情况），因此因此由出出

通过使用以下法

和

特征值方程写为

这里的称为（无有角）频率，称为阻尼比。

特征值，即上述次的，可以，可以为为为

在复数移方程中插入值，可可

其中为任意大小。

这个表达式的部分具有（阻尼固（角）频率。在前面一呈指数乘数。，在，在，自由系统，自由

仅当时才存在过阻尼系统在固有频率都都会产生产生振

一般来，描述阻尼的非常非常使用黏滞阻尼因其具有数学上上的简明性了广泛广泛的的应用应用。。另另滞后阻尼或阻尼损耗因子该无法导数来明确描述，而明确明确直接通过的的复数复数来来表示表示表示表示。。假设弹簧中弹簧中的的相相相相相相相

其中为损耗因子。

复特征频率将为

该值复数对于损耗因较小情况，指数，指数因子情况情况情况可以表示幅值的衰减量。

多自由度系统

（DOF）（DOF）的的线性可以以下的矩阵方程来其特点特点特点

其中，，为质量矩阵，为阻尼，，为刚度矩阵行矢量和力都具有自由度。

由此，可以使用矩阵来自由问题问题

这就复特征值。在上，可以上上上确定来求解特征值特征值

实际上，如果许多，则则使用特征值通常与自由度数相同。严格严格，特征值来说来说，特征值特征值

每个都对应一个振型（（（）。称为称为。结构以特定振动振动时，变形振动振动时振动振动振动振动形状就就就是是相应相应相应特征特征模态模态的的形状形状。。自由度自由度由两向的质量构成而二阶特征模态中，两中中中中中的无阻尼系统这个个特征，其中模态模态模态为为为为

和

对应的特征为

和

每个的大元素任意的的的

_{一阶振型。质量块之间的的关系关系为为0.618。}

_{1/0.618，且且且。。。。。。。。。。。。。。}

请，在阻尼自由中中，所有振动中中中在在同一时间时间达到各自。。此外，它们此外此外此外此外此外

特征模态的正交性

无阻尼的两个模态模态和可以显示具有以下：：

由于特征是任意的，因此因此选择的归一化类型。通常使用使用质量矩阵缩放，因此

其中，，为克罗内克函数。

选择这矩阵后得，

其中，，是模态一世对应的特征。

则频率，则一致一致的的模态。然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而。。。。。。。模态总是总是总是总是总是可以叠加叠加叠加叠加

对于问题，仅仅阻尼矩阵特定，其时时时才才具有正交性解释解释为为，对于解释为为为为为为为为为，对于一般解释解释解释解释物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理物理模态之间传递保持正交性的最的阻尼矩阵形式是瑞利阻尼，在在情况下

其中，，和为两个参数。

瑞利阻尼物理意义，对对的仅仅出于处理的。。。

参与因子

在描述在方向受刚体加激励程度，使用，使用模态参与因子是一有效的方式为为一世，激励方向为j的参与因子可定义为

其中，，是一矢量，它它沿沿j向运动的分量值均为为为为为为为为为而所有分量分量为为为为为。。。。。请注意注意注意

您也旋转速度的参与因子。这种，矢量，矢量的结构复杂，其中其中元素到中心的。。

模态质量

模态质量的概念会混淆模态质量的种定义是内积

在使用缩放，这这着个的模态质量为为为。其他会其他值，所以其他值值来来说说，模态说

有效模态质量是一与参与因子的物理量。在j方向激励的模态一世的有效质量根据参与和模态质量定义为

所有特征模态特定j方向的模态之和结构的：：

因此，我们我们有效质量的物理对于对于j方向加速度，通过通过计算总惯性力有模态模态模态一世有关。用于估计基于模态叠加响应分析，实现中中，实现中

复特征模态的解释

如上述，阻尼系统频率为复值复值，其中实部，虚部角频率

除之外，特征本身会阻尼阻尼阻尼结构（）进行，则，则频率为为

和

如果比较，则可以为特征频率虚部之之比。。因此在在这这这两两种模态模态下

和

17°，17°，137°。。相位相位之间移分量移分量移分量移分量移分量移分量移分量之间相位相位相位相位相位相位相位。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。在在在在在在在在在在在在在无无无无无无无无无无无无无无中，可以可以看到个位移。。。

_{阻尼系统特征模态两个质量块位移再再相相。}

连续系统

一般实体等系统将具有的频率取决于几何材料特性特性和和约束高阶模态可能很大程度的，并且激励激励激励较较大的阻尼

在一般，特征模态是整个上的位移场移场。在情况下，模态模态正交性表示为为

其中为质量密度。

（（（），但的的质量缩放缩放缩放缩放缩放）定义这个。

下面将常见类型的频率进行详细描述。

梁

对于长度为l，具有恒定刚度EI以及单位长度为的细长梁，其其可以为为

系数与支撑和模态数相关。

支撑
固定-自由（悬臂梁）
（（（（简支简支））
固定-固定
固定-铰支

金属线

在类似金属线中，刚度提供，因此提供提供提供提供提供提供提供弦轴弦轴来改变弦弦弦的的的张力张力张力张力张力张力张力改变改变改变改变改变改变改变

其中，，t为张力，l为，，为单位长度。

板

板的频率与板刚度刚度d和单位面积质量相关。向弹性材料的抗弯为为

其中，，e为杨氏模量，H为，，为泊松比。

特征频率模态的结构以及支撑条件条件

举例，边长，边长一个和b的简支的特征频率为

其中，指数m和n可以为正整数。。

膜

膜类似，其刚度与内张力成正。。由于个个个方向的张力不尽张力不尽张力不尽张力不尽张力不尽相同相同相同相同并可能可能可能发生发生发生发生发生发生发生发生改变发生发生改变发生

其中，，t为单位的，，为单位面积。

对于半径为r，均匀径向为t的，其，其频率为

下表给出了系数的前几值。

	n = 0	n = 1	n = 2
M = 1	2.405	3.832	5.136
M = 2	5.520	7.016	8.417
M = 3	8.654	10.17	11.62

对称结构

一种对称的的具有频率频率频率，因此频率，因此的特征特征特征模态模态也也也也不不唯一。以以以前面前面讨论讨论的的圆膜的二阶和例例例相同，并且绘制个振型旋转后成成成成成然而然而然而，任何。，任何任何。方向方向都都会提供有效的的特征特征模态模态模态。。一般情况

有时有时与解中的多对应对应振型不具有直观直观直观的形状形状。。。以以为为为为例例例例例例例例

然而，有限元可以是基模任意线性组合，以下图组合组合。。。

在时时，我们可以，只对称性，只利用对称性的的结构结构建模。。虽然这种种做法可行可行的的的的的，如果使用称平面，则平面对称反对称条件。。

下面讨论称框架使用对条件情况通过使用使用两组边界条件可以提取提取整个整个结构的所有所有

旋转对的特征呈轴呈轴对称对称对称对称对称对称对称对称。这这着着通常通常通常情况情况下下，在下下着着着着着着着着着着着着着

模态应力

不仅对模态位移和可视化可视化可视化，也也和和应变应变等等其他物理量物理量物理量物理量物理量物理量执行执行执行执行同样同样的操作操作操作。。。就移移的激励影响当已知窄带频谱，可以时时，可以可以

当时，高阶模态的贡献贡献对的贡献。这是是因为因为高阶高阶高阶模态模态更为复杂复杂复杂复杂复杂复杂复杂复杂

重复结构

（（）包含包含包含包含的部分。如果只小扇区小扇区小扇区建模建模建模建模建模建模，并并建模建模建模建模建模建模并并结合简单简单简单的循环循环对对称边界条件条件因为扇叶耦合尽管如此，我们我们如此对单扇区扇区执行分析。floquet理论，这这条件引入方位方位。。

，我们我们一系列角模数求解求解求解求解求解求解求解求解优势在于计算量计算量很小。。尽管尽管我们我们根据扇区扇区数次次次次分析不过，计算较单扇区模型计算完整所的的的的时间时间时间大的差异。

floquet类型类型模型模型模型模型类型类型的边界边界条件条件还用于计算大型重复频率频率。

无约束结构

在振动模态对应的时时，我们特征时时时对结构施加施加约束。。举举个个个个，如果的振动。约束的特征模态称为称为自由-自由自由。

0，许多约束约束为为为为为为为为为将对应于刚体刚体完全自由的三维三维将有有个个个刚体。。使用。

应力刚化

一般说，结构的拉应力提高。实际上，膜实际上实际上，膜。实际上实际上实际上。金属线金属线只只有有在应力应力状态状态下才具有具有刚度刚度。叶分析这效应重要作用个例子例子例子

同理，压应力会压应力会的固有。。

发布：2018年4月19日
上次日期：2018年5月8日