Navier-Stokes方程/h2>
什么是Navier-Stokes方程式?/h3>
Navier-Stokes方程可以控制流体的运动,并且可以被视为牛顿的第二次动作定律。在可压缩的牛顿液体的情况下,这种收益率/p>
在哪里strong>你/strong>是流体速度,strong>P./em>流体压力,strong>ρ/em>是流体密度,和strong>μ./em>流体动力粘度。不同的术语对应于惯性力(1),压力(2),粘性力(3),以及施加到流体(4)的外力。Navier-Stokes方程由1927年至1845年之间的Navier,Poisson,Saint-Venant和Stokes得出。/p>
这些方程总是与连续性等式一起解决:/p>
Navier-Stokes方程代表了动量的守恒,而连续性方程代表质量的守恒。/p>
这些方程位于流体流动建模的核心。解决它们,对于特定的边界条件(例如入口,出口和墙壁),预测给定几何形状中的流体速度及其压力。由于它们的复杂性,这些方程仅承认有限数量的分析解决方案。例如,它相对容易地解决这些方程,用于两个平行板之间的流动或用于圆形管道中的流动。然而,对于更复杂的几何形状,需要解决方程。/p>
在以下示例中,我们在数值上解决了Navier-Stokes方程(本文也称为“NS等式”)和计算域中的质量保护方程。这些方程需要用一组边界条件来解决:/p>
在出口处规定的入口和压力下规定了流体速度。在墙壁上指定了无滑动边界条件(即,速度设定为零)。稳态NS的数值解((1)中的时间依赖的衍生物被设定为零)和层流制度中的连续性方程和恒定边界条件如下:/p>
根据感兴趣的流动制度,通常可以简化这些方程。在其他情况下,可能需要附加方程。在流体动力学领域中,不同的流动制度使用非潜在数量进行分类,例如雷诺数和马赫数。/p>
雷诺数,strong>重新=em>ρul/μ./em>,对应于惯性力(1)与粘性力的比率(3)。它衡量流动的湍流是多么动荡。低雷诺数流动是层状,而较高的雷诺数流动是湍流的。/p>
马赫号,strong>m =em>U / C./em>,对应于流体速度的比率,strong>你/em>,在那种流体中的声音速度,strong>C/em>。Mach编号测量流量可压缩性。/p>
在流过一个后视图的流中,RE = 100和M = 0.001,这意味着流量是层状,几乎不可压缩。对于不可压缩的流动,连续性方程产生:/p>
因为速度的分歧等于零,我们可以删除术语:/p>
从NS方程中的粘性力术语在不可压缩的流动的情况下。/p>
在以下部分中,我们检查一些特定的流动制度。/p>
当雷诺数很小时(strong>关于/strong>«strong>1/strong>),与粘性力(3)相比,惯性力(1)非常小,并且在求解NS方程时它们可以被忽略。为了说明这种流动制度,我们将看看由加州大学圣巴巴拉的Arturo Keller,Maria Auset和Sanya Sirivithayapakakorn进行的孔隙尺度流实验。/p>
感兴趣的领域占340μm的320μm。水从左右移动到几何形状。孔隙中的流动不穿透固体部分(上图中的灰色区域)。入口和出口流体压力是已知的。由于通道宽度至多0.1毫米,并且最大速度低于10sup>-4/sup>M / s,最大雷诺数小于0.01。因为没有外力(忽略了重力),所以力术语(4)也等于零。/p>
因此,NS方程减少:/p>
下图显示了所得到的速度轮廓和压力场(高度)。/p>
该流动由入口处的较高压力驱动而不是在出口处。这些结果显示了NS方程中的压力(2)和粘性力(3)之间的平衡。沿着较薄的通道,粘性扩散的影响更大,这导致更高的压降。/p>
在雷诺数非常高的工程应用中,惯性力(1)远大于粘性力(3)。这种湍流的问题是瞬态的;需要使用足够精细的网格来解决流量中最小的eddies的大小。/p>
使用NS方程运行这种模拟通常超出了当今大多数计算机和超级计算机的计算能力。相反,我们可以使用一个em>Reynolds-Iveraged Navier-Stokes(Rans)/em>制定Navier-Stokes方程,其平均速度和压力领域及时平均。/p>
然后可以在相对粗糙的网格上以固定方式计算这些时间平均等式,从而大大减少了这种模拟所需的计算功率和时间(通常为二维流量几分钟,几分钟到几天三维流动)。/p>
reynolds平均的Navier-Stokes(RANS)制定如下:/p>
这里,strong>你/em>和strong>P./em>是时间平均速度和压力。术语strong>μt./em>表示湍流粘度,即,由RAN方程没有解决的小规模时间相关速度波动的影响。/p>
湍流粘度,strong>μt./em>,使用湍流模型进行评估。最常见的是K-ε湍流模型(许多RAN湍流模型之一)。该模型通常用于工业应用中,因为它既稳健又计算得廉价。它包括解决两种用于湍流动能的交通的附加方程strong>K./em>和湍流耗散strong>ε./em>。/p>
为了说明这种流动制度,让我们看一下比POR级流量更大的几何形状的流量:典型的臭氧净化反应器。电抗器长约40米,看起来像迷宫,部分墙壁或挡板将空间划分为房型舱室。基于入口速度和直径,在这种情况下,其分别对应于0.1米/秒和0.4米,雷诺数为400,000。该模型用于时间平均速度,strong>你/em>;压力,strong>P./em>;湍流动能,strong>K./em>;和湍流耗散,strong>ε./em>:/p>
流量可压缩性通过马赫数测量。所有以前的例子都是弱可压缩的,这意味着马赫数低于0.3。/p>
当Mach数量非常低时,可以假设流量不可压缩。这通常是液体的良好近似,这比气体不可压缩得多。在这种情况下,假设密度是恒定的,连续性方程减少到strong>∇⋅u= 0./strong>。显示通过多孔介质以低速流动的水的爬行流程示例是不可压缩流动的良好举例。/p>
在一些情况下,流速足够大以引入流体的密度和温度的显着变化。这些变化可以忽略strong>M./strong>strong>0.3/strong>。为了strong>M./strong>>strong>0.3/strong>然而,速度,压力和温度场之间的耦合变得如此强,即NS和连续性方程需要与能量方程一起解决(流体中传热的方程)。能量方程预测流体中的温度,这是计算其温度依赖性材料特性所需的。/p>
可压缩流可以是层状或湍流。在下一示例中,我们在扩散器(会聚和发散喷嘴)中看一流的高速湍流气流。/p>
漫射器在横向于跨越慢速的横跨,而入口处的流量是括号的,而是由于收缩和低出口压力,流程加速并在喷嘴的喉部中变为声音(M = 1)。/p>
这三个图中的结果显示了强烈的相似之处,这证实了速度,压力和温度场之间的强耦合。在超音速(M> 1)的短区域之后,正常冲击波将流量带回亚音流。已经在M. Sajben et的许多实验和数值模拟中研究了该设置。al。[1-6]。/p>
Navier-Stokes方程只有有效,只要系统的代表性物理长度远远大于构成流体的分子的平均自由路径。在这种情况下,流体被称为aem>连续国/em>。平均自由路径的比率,strong>λ./strong>,并且代表长度尺度L称为knudsen号码,strong>KN =λ/ L./strong> NS方程有效strong>kn./strong>strong>0.01/strong>。为了strong>0.01/strong>strong>kn./strong>strong>0.1/strong>,仍然可以使用这些等式,但它们需要特殊的边界条件。为了strong>kn./strong>>strong>0.1/strong>,他们无效。在1个ATM的环境压力下 - 例如,空气分子的平均自由路径 - 是68纳米。因此,对于NS方程有效,您的模型的特征长度应大于6.8μm。/p>
发布时间:2015年1月15日br>最后修改:2017年2月22日/em>
它们如何适用于模拟和建模?/h3>
示例:Laminar流过了一个backstep/h3>
Navier-Stokes方程的不同口味/h3>
关于雷诺和马赫数/h4>
低雷诺数/爬行流/h4>
关于实验/h5>
建模实验/h5>
高雷诺数/湍流/h4>
流动压缩性/h4>
不可压缩的流量/h5>
压缩流量/h5>
Navier-Stokes方程不能解决哪些流动制度?/h3>
参考/h4>