多物理环状体

结构力学模式叠加

什么是模式叠加？

在进行线性结构的动态响应分析时，模式叠加是减少计算时间的强大技术。使用此方法，可以通过少数本征码的叠加来近似结构的动态响应。

当加载的频率含量受到限制时，模式叠加最有用。由于已知加载频率，因此在频域中进行分析时特别有用。波传播问题不适合这种技术，因为它们涉及很高的频率。

得出模态方程

假设结构的运动方程式以矩阵形式写为

在哪里是质量矩阵，是阻尼矩阵，是刚度矩阵。自由度（DOF）放置在列矢量中和力量。

通常，矩阵形式是使用有限元方法从物理问题的离散化获得的。如果n表示DOF的数量，矩阵具有大小nXn。

在这里，假定矩阵是真实的和对称的，并且刚度矩阵是正定的。这是最常见的情况，但是在不对称矩阵的情况下，也可以使用模式叠加。例如，在耦合的原声结构问题中可能会发生这种情况。使用不对称矩阵时的理论更为复杂，但是原理是相同的。

模式叠加的先决条件是计算特征频率和相应的模式形状。通常使用特征值方程来为未阻尼的问题完成此操作

通常，只有少数n计算特征频率的内容。该计算的结果是一组固有频率具有相应的模式形状， 在哪里一世从1到n。可以证明，相对于质量和刚度矩阵，特征模是正交的（或者在重复的特征值的情况下，可以选择为正交）。这意味着

和

很方便将本亚元素放在矩形中nXn矩阵，其中每列包含一个本本词。然后可以将正交关系总结为

对角线元素称为模态质量。模态质量的值取决于本征码所选的归一化。这种归一化是任意的，因为该模式仅表示形状，并且幅度没有物理含义。一个常见和方便的选择是质量基质归一化。然后将本征码缩放为，给予

刚度矩阵的相应正交关系为

如果使用质量矩阵归一化，则对角矩阵由平方的天然角频率组成。

模式叠加中的基本假设是，可以将位移写成本征码的线性组合：

这里，是模态振幅。

如果使用了系统的所有本征模，这将是一个准确的，而不是近似关系。由于本征模是正交的，因此它们形成完整的基础，并且表达仅仅是从物理淋巴结变量变为模态振幅的坐标变化。当仅使用少量的本征码时，可以将模式叠加视为位移的投影，这些投影是由所选的本征码跨越的子空间上的投影。

模式叠加也可以以矩阵形式编写为

在列矢量中收集了模态DOF。

在运动方程式中插入模式叠加表达式

在左乘法之后：

可以利用正交关系，以便

现在的原始方程系统已从n到n变量。右侧称为模态负载。解决这个较小的问题将大大减少计算工作，但还有另一种可能的简化。自从和是对角线矩阵，只有术语在方程式之间提供耦合。通常假定模态阻尼矩阵是对角线的，因此一组未耦合的方程

可以使用。

但是，应该注意的是，在现实生活中，在阻尼结构中不同的振动模式之间通常会有一些串扰。如果存在强大的物理阻尼，例如使用离散仪表盘时，则最好使用耦合系统。

阻尼模型

可以在模式叠加中提供分离方程的阻尼模型包括：

• 模态阻尼
• 瑞利阻尼
• Coaughey系列
• 集结

模态阻尼

直接提供每种模式的阻尼比，是一个普遍的选择。模态阻尼可提供很大的控制。如果出于物理原因，预计它们会受到严重阻尼，则可以为模式分配更高的阻尼值。

瑞利阻尼

在瑞利阻尼模型中，假定阻尼矩阵是质量和刚度矩阵的线性组合，

在哪里和是该模型的两个参数。

因此，它将像组成矩阵一样被特征模量对角线。因此，模态阻尼将被隐式定义为

系数和通常选择以便在感兴趣的间隔下在两个不同的频率下进行阻尼合理。

瑞利阻尼模型的优点是它的简单性。它没有任何身体意义。

Coaughey系列

实际上，有更多的通用表达式可以通过特征码对抑制矩阵进行对角线。使用Caughey系列构建的阻尼矩阵

具有相同的正交性属性。模态阻尼将是

瑞利抑制作用是使用Caughey系列的前两个术语的特殊情况。实际上，很少使用Caughey系列方法。

集结

创建对角线模态阻尼矩阵的一种可能方法是在创建对角线矩阵。最简单的方案就是仅放下所有偏离元素。

模态负载

模态负载是外部载荷在每个本本码上的投影。如果负载在特定模式下具有很小的投影，则不需要将这种模式包括在叠加中。一个常见的情况是何时结构和负载是对称的。然后可以忽略所有抗对称算术，因为这些模式上没有载荷的投影。

由于在响应分析中仅使用了一小部分模式子集，因此在对模态坐标的投影期间，总原始负载的一部分丢失了。可以使用各种改进解决方案的方案；例如，静态校正，，，，模式加速， 和模态截断增强。

压力和应变

通常，为了获得良好的压力结果，与良好表示位移所需的模式相比，必须在叠加中使用更多的模式。这是因为较高的模式通常具有更复杂的模式形状。因此，位移的衍生物（即菌株）相对较高。检查模态应力因为单个本征可以表明它们的相对重要性。

移动的基础

所有特征模量在限制位移的DOF中的位移将为零。因此，使用模式叠加通过移动基础对激发进行建模并不直接，因为这种位移不包含在模式形状跨越的基础中。

但是，一个常见的情况是整个基础同步移动，例如经历地震的建筑物。分析可以在固定在基础上的坐标系中进行。这意味着基础的加速度改为变成体积力。

还有一种通常称为大质量法。在这种近似方法中，每个非零处方位移都被非常大的点质量所取代。这将产生一些非常低的本征经，其中只有群众正在移动，但是所有其他特征频率和模式几乎都不会改变。实际上，这意味着叠加中可用的形状集已被与单位规定位移的静态解决方案相似的东西增强。

简单支撑光束的模式叠加

考虑具有以下特性的简单支撑光束：

• Young的模量，E = 210 GPA
• 质量密度，ρ= 7850 kg/m³
• 惯性的区域矩，i = 7960毫米⁴
• 横截面区域，a = 1000毫米²
• 长度，L = 12 m

简单支撑梁的固有频率由表达式给出

具有所选值的评估。

相应的本征可以证明是

在哪里是任意正常的常数。

我们考虑了相当于质量基质归一化的连续分析解决方案是

对于所有模式，

让我们考虑具有恒定强度的分布式负载每单位长度。

模态负载可以计算为

偶数值j，模态负载为零。这反映了载荷是对称的事实，而偶数模式不对称。对于奇数j，模态负载是

为了计算特定的响应，让我们假设线负载与

22 rad/s的角频率接近5的固有频率^Th本征模，我们可以预期该模式会对总响应产生重大影响。没有任何阻尼和质量标准化，模态方程是

具有谐波激发幅度，我们获得频域版本，

模态振幅可以明确求解。结果就是

因此，可以根据模式叠加来显式编写位移

采用第二个衍生物给出弯曲时刻，以便

除了更改恒定乘数外，可以注意到，术语2K + 1已从分母转移到分子。这意味着，较高的模式比位移更多地影响了弯曲力矩（因此应力）。

在下表中，计算了该值的前十本特征模式的模态载荷和模态振幅。

模式j	ωj	rj	问j
1	1	11.13	-2.30·10-2
2	4	0	0
3	9	3.71	-9.21·10-3
4	16	0	0
5	25	2.23	1.58·10-2
6	36	0	0
7	49	1.59	8.29·10-4
8	64	0	0
9	81	1.24	2.03·10-4
10	100	0	0

模态振幅在较高模式下降低（）， 自从。

当求和模式1、3和5时，位移结果已经很好地收敛。为了获得弯曲矩的良好表示，模式7至少必须包括在内。

在此示例中，响应由单个模式强烈主导：模式5。如果强迫角频率从22 rad/s转移到17 rad/s，则我们远离共振。结果如下图所示。

现在，即使模式5的包含对于获取可接受的解决方案是必需的，现在的位移现在由模式3主导。但是，弯矩仍然由模式5主导。

发布：2018年4月19日
最后修改：2018年5月8日