运动的压力和方程

结构力学运动的压力和方程

介绍应力和运动方程

当固体变形时,内部力在材料中分布。这些都被称为压力。压力有每个区域的力量。

在一个横断面的酒吧一种由轴向力负载F,力方向的应力是。作为日常观察,我们知道较厚的物体将能够维持更高的力量。因此,应力是一种直观的适当数量,用于提供有关装载最严重的材料的信息。

轴向装载的杆的图。 轴向装载的杆。 轴向装载的杆。

除了非常特殊的情况外,作为上面所示的非常特殊的情况,压力的幅度和取向都在整个装载的身体中变化。

CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons.

">柔软材料中实验确定应力模式的图像。

实验确定围绕柔软材料的刚性夹杂物的应力图案。使用光弹性获得图像。由ssmg-意大利的图像。许可cc by-sa 3.0, 通过Wikimedia Commons.

实验确定围绕柔软材料的刚性夹杂物的应力图案。使用光弹性获得图像。由ssmg-意大利的图像。许可cc by-sa 3.0, 通过Wikimedia Commons.

柔软材料中的计算确定应力模式的模拟。

使用有限元分析计算的相应应力模式。

使用有限元分析计算的相应应力模式。

当力垂直于表面行动时,应力被称为正常压力。由作用与表面相切的力引起的应力被称为a剪应力

动量平衡

由压力给予的身体中的内部力量必须与外部力量和惯性力量一起,根据牛顿的第二法平衡。

让我们考虑在整个变形过程中由相同的材料颗粒组成的小表面。我们假设无需材料中的连续性损失的变形,因此没有介绍裂缝。在变形之前,表面的特征在于该区域和正常的矢量N.。变形后,这些变成了N.。表面不一定是身体外部的一部分 - 它也可以是身体内部的纯粹概念性表面。

图显示了变形前后表面的表征。 原始和变形配置中的无限曲面。 原始和变形配置中的无限曲面。

作用在变形区域上的表面力可以表示为

这里,T.N.叫做牵引, 尽管T.N.通常被称为名义牵引,因为它将作用在实际变形状态下的力与未变形区域涉及。

牵引具有每个区域的单位力。如果该区域在变形过程中发生变化,则两个牵引载体的大小不同,但它们都具有相同的方向。

我们可以使用其空间组件来编写名义牵引力T.一世和正常矢量使用其材料组件N.j。有关空间和材料框架的讨论,请阅读此关于变形分析的页面

此外,我们将牵引部件写在正常矢量的以下线性扩展:

在此之后,假设在重复指数上的求和。小型和资本指数分别用于空间和材料组件。

这样的表示有时被称为Cauchy的法律要么Cauchy的惯例。这只是可能的情况P.IJ.是一定的级别的组成部分2。

对于任意的未变形材料体积V.0.,动量保护可以以以下整体形式表达:

在哪里表示重力或离心力等体积力,并且从位移场计算速度场,, 作为

通过使用Cauchy的公式和应用分解定理,可以将表面积分转换成体积积分,如:

由于卷是任意的,这给出了以下差异形式的动量平衡方程:

或者,使用张量表示法:

张量P.被称为第一个Piola-Kirchhoff压力张量。它将在空间方向上的力涉及原始未变形配置中的区域。因此,其组件被指数给出了指不同的配置。有时,调用这种数学对象双点张量。通常,这种张量不对称。

类似的方法可以应用于牵引载体T.N.以及实际变形配置中的材料体积。这将导致以下代表性:

张量被称为Cauchy压力张量要么真正的压力张量,因为它代表了与实际变形区域相关的实际配置中的力。这种张量由其空间组件表示。

如果我们考虑一个与空间坐标轴一个平行的正常矢量的小面积,则Cauchy Regress Tensor的组件的含义变得清楚;例如,第三个。然后,对该区域的普通向量是{0,0,1}并且牵引是由

因此,具有33个索引的应力张量分量在3方向上给出牵引载体分量在相同方向上具有正常的平面上。具有两个相同指数的压力张量组件被称为a正常压力要么直接应力。另外两个应力张量部件提供牵引作用的部分与平面交叉。这样的组件被称为a剪应力

通过为小型立方体拍摄时刻平衡,可以表明Cauchy Regress Tensor是对称的,所以。只要没有容积时刻贡献,这是真的。这种材料,被认为是使用Cosserat理论, 存在。但是,它们罕见。

一种示意图,示出了立方体中的对称Cauchy压力张量。

由于Cauchy和第一个Piola-kirchhoff张力张力与相同的表面力的不同表示,

为了找到两个压力措施之间的关系,我们可以使用南森的惯例由于变形导致的区域变化。它指出

在哪里F是个变形梯度张量

体积因子j提供由变形引起的音量变化。因此,压力张量通过

通过引入称为张量的张量,可以进一步简化该和类似的公式Kirchhoff Rengress Tensor.,它被定义为。Kirchhoff Regress Tensor几乎没有实际使用,但更多的是理论上方便的数量。

大众保护和欧拉配方

就Cauchy Regress Tensor而言,可以写入动量平衡方程

注意,该等式中的密度表示变形材料的真实密度。而且,体积力是每个变形体积的力。密度隐含地取决于由于的变形群众保护作为

这种增加的非线性使得这种形式的动量平衡方程从计算的观点之间不太有趣。

通过使用速度并将独立变量更改为空间坐标通过X=XX,T),我们到达

这是欧拉方案中的势头平衡。这种配方通常用于流体动力学,速度被视为从属变量。

机械能量平衡

乘以速度向量乘以动量方程的差分形式并将其集成在材料上给出以下等式:

该方程具有一体的形式机械能量平衡。它也被称为电源定理。速度的空间梯度是和:操作员表示两个指数上的总和;。更详细地讨论了速度梯度的特性变形页面分析

等式的右侧的两个积分分别表示来自体积和表面力的功率输入。这种电源输入是每单位时间通过各自的力在材料上完成的工作。

左侧的术语分别是动能变化的速率和供应到身体的应力功率。对于弹性材料,应力功率是应变能量密度的变化率。

通过使用关系

应力功率可以以以下等同形式表示:

因此,我们可以说第一个Piola-kirchhoff压力张力和变形梯度形成能量共轭对。这些对也可以称为权力共轭要么工作共轭压力和应变措施。

速度梯度可以分解成对称和反对称部件,称为应变率张量L.D.) 和旋转张量L.W.), 分别。由于Cauchy Rengress Tensor是对称的,。因此,作为Cauchy应力的功率缀合的应变度量是应变速率张量。后者也可以写成

在哪里

是个绿色拉格朗日应变张量。然后可以将压力功率积分重写为:

这里

被称为第二个Piola-Kirchhoff压力张量。这是一个对称的张量,其是与绿色拉格兰菌株的能量缀合。

第一和第二Piola-kirchhoff张力张量有通过:

该公式使得可以将动量平衡方程重写为:

与形式的本构关系统相同

将提供位移矢量的封闭式方程系统。

旋转平面上的应力分量

对于轴向装载的杆,很容易思考压力作为标量数和状态,在此栏上,仅存在正常应力。完全压力张量是

这种应力张量具有在具有其坐标系中表示的组件X- 与杆对齐。在任何其他坐标系中,将存在正常应力和剪切应力的混合。如果我们考虑不垂直于杆的轴线的概念内表面,可以看到这一点。在该表面上,实际上存在正常(σ)和剪切(τ)应力,如下图所示。

在酒吧的正常和剪切应力成分的例证。 将牵引载体分解成正常和剪切应力分量。 将牵引载体分解成正常和剪切应力分量。

在旋转系统中,其第一轴与正常表面对齐,应力张量具有结构

在哪里是杆的轴线与正常表面之间的角度。

通常称为这样的压力状态单轴。然而,它仅在某个坐标系中,它可以由单个正常应力分量表示。

比较Cauchy和第二Piola-Kirchhoff Regules

让我们考虑正交材料。该材料沿着直悬臂梁沿着一定取向的纤维。

由于它沿着材料方向定义,因此即使当结构经受旋转时,第二Piola-kirchhoff应力也允许我们在纤维方向上可视化应力。

在下图中,光束通过施加在尖端的纯时刻弯曲。我们可以看到Cauchy压力和第二个Piola-kirchhoff压力的11组件。弯曲应力沿着光束物理引导,因此与空间固定水平方向有关的Cauchy应力的11分量随着偏转而减小。另一方面,第二Piola-kirchhoff应力沿着整个梁具有相同的贯通厚度分布,也处于变形的配置。

Cauchy和第二Piola-Kirchhoff应力的视觉比较。 Cauchy Regress(上述)和第二Piola-kirchhoff压力(下面)的相同组成部分。 Cauchy Regress(上述)和第二Piola-kirchhoff压力(下面)的相同组成部分。

第二Piola-kirchhoff应力的实际值更难以解释,因为它与原始区域或变形区域无关。

发布时间:2018年4月19日
最后修改:2018年4月19日