玻色-爱因斯坦爱因斯坦种现象现象现象现象现象现象现象现象由宏观数量玻色子（例如例如例如光子光子光子光子4）占据的光子光子光子光子的的的的的量子态这一被的稀冷原子实现这样的系统经受经受旋转扰动而不是是整体整体整体旋转旋转时本篇博文，我们将一模拟涡旋晶格的模型模型模型，comsol软188金宝搏优惠件软件软件中的的的的薛定薛定方程方程方程物理场物理场物理场物理场物理场接口接口的®5.6版本中可以找到。
“薛定谔”物理场接口
188金宝搏优惠comsol多物理学的的模块个个个薛定谔方程物理场接口一最中中中，它它中非非相对论粒子粒子在势能图景图景参考文献1）。它函数模拟约束固态系统，例如固态系统系统阱，量子线和（参考2）。本文章，我们我们将如何将薛定谔方程转换程转换程转换成成成成成成成成成参考文献3和4），以及如何用模拟玻色。。。
涡旋晶格形成实验
麦迪逊，雪佛兰，bretin和dalibard于2001年年发表的（（参考5）中展示系列引人注意的图像中中中图的的的的的的的的的图图的的图图的的的的的的的的的生动生动地地地证明证明证明了了旋转激光场激光场的作用作用下下下下下下形成。一图，他们他们还椭圆率椭圆率椭圆率椭圆率| \ tilde \ alpha |的时间（请参阅的的（7）），显示了低之前，该能态之前了一段明显的动力学不不稳定期。先先，随后| \ tilde \ alpha |坍塌至接近。
图麦迪逊3摘自等等的实验论文（（（参考5）。
主要势阱横向和纵向势阱频率\ omega_t和\ omega_z表征：
（1）
其中，，m是原子质量。
势阱频率之比\ lambda \ equiv \ omega_t/\ omega_z为9.2，如参考文献13的的说明所。。。
旋转激光场的光势可以为为
（2）
其中，，X和y轴以一定频率\欧米茄围绕z轴旋转。
然后，总总v_ {陷阱}+v_ {laser}通过势阱频率\ omega_ {x，y}^2 \ equiv \ omega_t^2（1+ \ epsilon_ {x，y}）和\ omega_z来表征。
可以调节以产生不同比比\ Epsilon，并并定义为
（3）
特征频率参数\ bar \欧米茄被定义为
（4）
以作为旋转的参考\欧米茄：\ omega \ equiv \ tilde \ omega \ bar \ omega。
例如，，参考文献1中中图图是当当\ tilde \ omega= 0.7时生成。，，\ bar \欧米茄也用于椭圆率| \ tilde \ alpha |，我们我们详细。但是，实验但是但是比比比\ Epsilon随时间演化起伏情况下进行。。，如果定义因此因此。（4）用于\ epsilon_x和\ epsilon_y的组合，则则时间过程的的\ bar \欧米茄值也会变化。
为了维持\ bar \欧米茄的值常数，以以旋转频率\欧米茄和椭圆率| \ tilde \ alpha |的参考，我们我们模型计算计算\ bar \欧米茄时使用\ epsilon_x和\ epsilon_y0.03和0.09。。。。常数值分别。0.03和0.03和0.09是基于参考2所引用同小组的早期实验。。
最后，椭圆率| \ tilde \ alpha |thomas – fermi分布分布分布很：
（5）
其中，，\ mu_ {tf}thomas – fermi近似近似），g = 4 \ pi \ hbar^2a/m是由散射长度一种F = 2，Mf = 2>基态，对于，对于87RB，，一种= 5.5nm）。
根据（5）横向尺寸\α（r_x和r_y）的的分布定义参数参数一种：
（6）
然后，将将参数\ tilde \ alpha定义为
（7）
建模理论
tsubota等等等等等的方法（（（参考2）。。求解唯象阻尼的旋转旋转框架的的的的的的的p p p p方程方程参考3）：
（8）
{\ partial t}
= \ left [ - \ frac {\ hbar^2}
{2M} \ nabla^2+v_ {trap}+v_ {laser}+g | \ psi |^2- \ \ mu- \ omega l_z \ right] \ psi
其中，，\伽玛是阻尼，，\亩是要以保持原子数的化学参数，并且，并且- \ Omega l_z = i \ hbar \ omega（x \ partial_y-y \ partial_x）是旋转中的离心。。
choi等人参考3）提供提供阻尼系数系数\伽玛的：：
（9）
{\ pi \ hbar^3}
e^{2 \ mu/k t} \ frac {\ mu}
{k t} k_1 \ left（\ frac {\ mu} {k t}
\右）/\ bar \ omega
其中，，K_1是一的，并且并且已经凝聚体其周围热原子热原子平衡平衡。。
thomas-fermi近似可以好重要重要参数，例如参数参数参数参数系数\伽玛。圆柱形称势阱的密度和尺寸参数：
（10）
\ rho_0 \ equiv \ frac {\ mu_ {tf}}} {g}＆= \ frac {15n} {8 \ pi r_r^2 rz}
r_r＆= \ left（\ frac {15g \ omega_z n} {4 \ pi m \ bar \ bar \ omega^3} \ right）^{1/5} \\ \\
r_z＆= \ left（\ frac {15g \ bar \ omega^2 n} {4 \ pi m \ omega_z^4} \ right）^{1/5}
\ end {align*}
其中，，n是凝聚体的。
模拟涡旋晶格的形成
模型参数
毛ivskii（8）可以使用半导体模块中的薛定谔方程物理场接口。在模型时，我们时时与与与与参考文献1中实际进行匹配，以以模拟演变与已发布数据数据。。。
根据bretin的论文，搅拌，纵横，纵横，纵横比比比\ Epsilon在20ms内斜升，300ms内内因此因此，在，在模型中，我们模型，我们我们搅拌激光场处于处于处于开启\ Epsilon变化和研究研究稳态稳态稳态同个个公式，对于公式公式公式公式公式公式公式研究研究而而而而而而定义为参数tau和T_OFF。然后一阶跃函数来和斜降纵横比\ Epsilon，假设20ms。。。。。公式为为为
EPST = 0.032*step1（（（t+tau）/tau）*（1-step1（（（t-t_off）/tau）））
使 -20ms处处开始在时间t = 0处处基于基于基于参考文献1和bretin的论文，，\ Epsilon的大小被为为0.032。
根据根据根据清楚的长长和轴是如何随随纵横比的的变化变化变化的。但是但是但是但是但是但是但是但是假设从搅拌中获得了的的\ epsilon_x和\ epsilon_y参数：：
EPSX =（EPST+SQRT（0.03*0.09+EPST^2-0.03*0.09*EPST^2））/（1-EPST），
EPSY =（-EPST+SQRT（0.03*0.09+EPST^2-0.03*0.09*EPST^2））/（1+EPST）。
准备好纵横参数后，按照实验部分中的输入参数。凝聚体体中的原子数1.5e5，这这选择选择选择与与与实验实验实验实验\伽玛，根据参考文献1，使用使用温度为为100NK。
thomas-fermi（10）计算合理厚度选择面外厚度标准标准标准，以以二维二维模型模型模型中中的的的的峰值峰值峰值密度密度密度密度密度密度密度与三维中三维中三维中三维中三维中三维中三维中的的的的的的的的的的l的：：
（11）
初始静止状态
首先，用用模型-玻色-爱因斯坦凝聚的的的的的的相同的研究求解凝聚体的稳态。为的瞬态研究提供初始条件。
对于（8）中的相互能项g | \ psi |^2，将内置变量schr.pr除以面外厚度l以得到的密度。请注意，schr.pr的意义从薛定谔方程意义上所的通常的的的概率概率密度密度密度密度不同\ psi代表GROSS – PITAEVSKII凝聚凝聚，并且，并且schr.pr（\ equiv | \ psi |^2）表示二维。）在在稳态研究波函数波函数n = \ int | \ psi |^2的归一化中中，thomas – fermi化学势势\ mu_ {tf}标定，因此因此的变量具有统一。。
下图比较了Xthomas-fermi近似近似近似的分布。正正如如
Xthomas – fermi近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似求出的的一。。。。。）
旋转框架，和归一化
获得稳态解，可以了了了了了188金宝搏优惠了了了旋转框架特征，如如截图所。。
旋转框架特征的设置窗口。
对于这样模型，旋转轴在方向上对于模型模型，用户模型模型模型模型
另一是唯象阻尼的耗散特征，这这弛豫到的能态重要请参见下面屏幕截图。。
耗散特征的设置窗口。
依据参考2，与稳态，使用使用通过化学来中中的原子数原子数原子数原子数TF的能量统一的阶次。。
动态不稳定性
在状态状态前，该状态该了一时间动态不稳定。。这种物理过程的随机随机本质导致每次次次运行运行也可能数值收敛性收敛性，对数值对解器设置了调整调整。。由于由于由于初始初始初始初始条件条件是来自来自来自的的的物理解物理解物理解物理解物理解之外。迭代的自动牛顿法有助于严重时的不稳定。
下面动画作为函数计算出的的粒子分布分布振荡振荡振荡振荡振荡振荡振荡振荡振荡振荡旋转旋转旋转初始初始初始初始（（动画变慢。。），最终最终，系统最终到涡旋晶格低能量状态。
作为时间的计算粒子。。
下图显示该动画的。。
作为时间的计算粒子。。
由于装置的限制限制，在限制限制限制限制下下下下，无法的下，无法无法的，无法获得获得的的限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制限制25 ms内大约大约大约大约大约大约大约前后前后前后。在的内密度与后原子云原子云已发布图像进行进行比较比较比较时
结果分析
上面的图形显示的时间演化简化为单个参数参数| \ tilde \ alpha |，该该粒子分布拟为个简单来提取椭圆长轴长轴r_x和短轴r_y，然后应用于（7）thomas – fermi近似近似近似分布分布分布势阱势阱模拟模拟模拟模拟模拟模拟模拟模拟势阱内了一个个很好的拟合函数。。通过通过将将其拟合拟合到到每每| \ tilde \ alpha |以作为函数下图显示了结果（（点点。。。初始参考文献13显示显示吻合。有不同不同不同，但是但是上述上述自由自由扩展前后可能发生发生发生的的形状形状形状变化
椭圆率参数每原子的角动量（为为\ hbar）。
/旋转旋转全云到涡旋晶格的的角动量角动量角动量角动量角动量角动量角动量角动量角动量角动量角动量角动量对角动量也绘制绘制绘制（（绿色曲线曲线曲线曲线曲线曲线曲线曲线（成）的的一般与与与与等等的模拟一致（参考2（3）。。，这里，这里这里结果尺度与数据接近。
优化
（thomas-fermi密度并并分布图分布图分布图分布图分布图（值线（（（模拟模拟分布图分布图分布图分布图分布图分布图分布图）进行比较，如如所。
（（灰度）和（密度密度密度密度密度密度和和thomas-fermi密度，彩色，彩色）。
如下面所，优化优化的从参数的定义。。。
优化方案的参数。
拟合：拟合：拟合密度的轴轴轴rxfit，第二轴ryfit，倾角Thetafit和峰值密度Rho0fit。还了解参考的参数参数指数和椭圆率参数alphafit的合值，使用使用参数和（7）计算。
thomas – fermi密度密度的被定义变量变量变量fit_fn。然后然后数据与之间的平方中求中求平均值平均值平均值平均值平均值平均值平均值平均值平均值平均值平均值平均值无法处理，thomas-fermi峰值峰值（（（10）中的\ rho_0）来缩放，以使的目标接近于于的量级该变量被定义为以下截图变量变量变量变量Q0。
通过优化最化拟合分布和目标。
然后在研究设置中目标目标Q0和thomas-fermi近似的值值值值，为为。。值
优化研究设置。
首先使用参数指数设置参数化，然后选取每时间点解。虚设的稳态研究研究步骤步骤，设置，设置未指数参数选择个时间的瞬态解。参见截图截图截图
使用参数指数进行参数化扫描。
用于栏带有带有带有求解变量值值值值稳态研究步骤，以步骤步骤步骤步骤
结语
本文文文由捕获捕获的的玻色玻色的玻色爱因斯坦爱因斯坦中的的涡旋晶格形成形成形成的的的动力学学学过程188金宝搏优惠了了了了了了了了了的留言区您使用物理场接口处理有趣的现象！
参考文献
- 1. L. I. Schiff，《量子力学》，麦格劳 - 希尔（McGraw-Hill），编辑。3，1968。
- 2. P. Harrison，《量子井，电线和点》，Wiley，编辑。3，2009。
- 3. E.P.GROSS，“玻色子系统中量化涡流的结构”，Il Nuovo Cimento，第1卷。20，否。3，第454–457页，1961年。
- 4. L.P. Pitaevskii，“玻色气中不完美的涡流线”，Sov。物理。Jetp，卷。13，不。2，第451–454页，1961年。
- 5. K. W. Madison，F。Chevy，V。Bretin和J. Dalibard，“旋转Bose-Einstein冷凝物的固定状态：通往涡旋成核的路线”，Phys。Rev. Lett。，86，4443，2001。
- 6. M. Tsubota，K。Kasamatsu和M. Ueda，《“旋转的Bose-Einstein冷凝物中的涡旋晶格形成”，Phys。Rev.，A 65，023603（2002）。
- 7. S. Choi，S。A。Morgan和K. Burnett，“被困的原子玻色 - 仁冷凝物中的现象学阻尼”，物理。Rev.，A 57，4057，1998。
评论（0）