模拟跨级异质结中的隧道电流

如果电荷载体的能量屏障的厚度与逃生的衰减长度相当或小，那么量子隧穿的效果可能很重要。为了解释这种效果，我们可以使用WKB隧道模型功能，可在Comsol®软件的5.4版本的半导体模块中提供，用于异性结和Schottky接触边界条件。188金宝搏优惠在这里，我们使用基准模型演示了它们的用法。

多变的kramer -brillouin近似

在多变的kramer -brillouin（WKB）近似的假设下，隧道电流增加了分数的增加，\三角洲，根据K. Yang，J.R。East和G.I.的参考文件的热电流。haddad（参考。1）。对于沿电场线从点1到第2点的潜在屏障，分数因子\三角洲是（谁）给的

（1）

在哪里问是基本充电，k_b是鲍尔茨曼常数，t是绝对温度，H是木板常数，m是有效的质量，E_B是传导带边缘（E_C）对于电子和价带边缘的负（-e_v）。

内部积分（\ int_1^2〜Dl）沿电场线从点1到点2进行，而外积分则沿着能轴进行。外部积分的上限由v_ {max} = \ textrm {max}（eb）/q（最大E_B在潜在的障碍物内）和下限由v_ {min} = \ textrm {max}（e_ {b，1}，e_ {b，2}）/q， 在哪里e_ {b，1}和e_ {b，2}立即在潜在障碍物的底部之外采用。请注意，两个基本值应该是最大而不是最小值。

WKB隧道模型功能

为了使用WKB近似建模隧道效应，首先设置边界条件，其中要添加隧穿的额外电流密度。对于异质界，选择热发射选项;对于金属触点，选择理想的肖特基。一旦选择了这些（非默认）选项，一个新部分称为当前额外的贡献出现，这是我们可以分别指定电子和孔的额外贡献的地方。默认情况下，未添加额外的电流。我们还可以选择内置的WKB隧道模型或用户定义的选项。请参阅下面的示例屏幕快照。

选择热发射选择添加当前额外贡献的选项。

如上一节所示，与电子和孔相关的变量对电子和孔的计算不同。因此，我们为每种类型的载体引入了一个不同的功能。这些特征被添加到模型构建器中，作为异性结或Schottky接触边界条件的子节点。下面的屏幕截图中显示了一个示例。

模型建筑商树结构和设置窗口WKB隧道模型，电子特征。

在里面设置上面显示的窗口，通常边界选择指定添加额外电流密度的边界。接下来，域选择指定潜在屏障所在的相邻域。然后，第二个边界选择指定与第一个边界选择相对侧的域的边界。从本质上讲，隧穿发生在选定的域，在第一个和第二个边界选择之间。

对于2D和3D模型，除了有效的质量外，我们还需要沿电场线方向输入一个变量，以及一个（2D）或两个（2D）或两个（3D）变量的坐标（S）隧道边界。在简单的矩形几何形状中，内置的空间变量X，，，，y， 和z（或基于它们的表达式）可用于坐标变量。在更一般的几何形状中曲线坐标数学接口派上用场。这杂结隧道教程模型在应用程序库中显示了后一种方法。

分级的异质结模型

这种异缝隧道模型比较了在不同温度下有和没有隧道的分级异质结的模拟电流密度。设备配置和所有材料属性均取自参考纸（特别是第3.3节），以比较模拟结果。

该设备是一种分子梁 - epitaxy生长的Al_XGA_1-x纳入电子的异质结构，形成了电子的三角形电势垒。为了获得实验数据的最佳拟合，本文的作者已使用选定的一组材料和设备参数来运行其每个模拟，这些材料和设备参数不一定与标称实验值相同。为了比较仿真结果，我们使用了作者选择的相同集合的仿真参数，而没有任何其他理由，除了本文中已经提出的参数。

三角形屏障是通过空间改变Al的Al摩尔分数而形成的_XGA_1-x作为图层。使用ComsolMu188金宝搏优惠ltiphysics®软件，可以直接创建具有属性的材料，具体取决于局部变量，例如摩尔分数，以及参数和变量，例如参考温度，晶格温度和掺杂浓度。摩尔分数又由空间变化的变量定义。可以通过使用显式表达式或使用不同域中的不同定义来使变量在空间上变化。我们在此模型中使用两种技术。如下面的屏幕截图所示，我们使用多个变量节点下定义使变量用于掺杂和摩尔分数在不同域中不同。此外，我们使用内置的空间坐标变量X使摩尔分数在域2中空间依赖。

使用多个节点在不同域中，在不同域中使用多个节点在不同域中不同的变量是不同的定义，（每个域一个）。内置变量X用于使变量al_frac在空间上依赖。

上面定义的空间依赖性变量可用于材料和物理定义，如下所示。

掺杂变量N_D如下所示，直接在掺杂功能中使用。

使用空间依赖性变量N_D在掺杂浓度的定义中。

摩尔分数变量al_frac用于定义方便的符号X在物质定义中，在本地属性部分设置窗口基本的子节点。符号X反过来又用于定义态密度（DOS）有效质量，相对介电常数，带隙，电子亲和力和迁移率。请注意，前缀防守用于访问下定义的符号基本的子节点，其标签为防守。例如，在下面的屏幕截图中，表达式def.x用于有效质量的输入字段中我和MH。

使用空间依赖性变量al_frac在通过符号的物质定义中def.x。

在物理设置中访问材料属性时，前缀材料可以使用。例如，使用表达式材料。def.x对于符号X，如下面的屏幕截图所示。另一个示例显示在较早的屏幕截图，使用该表达式访问电子有效质量Material.def.me。

使用前缀材料访问物理设置中的材料属性。

设置曲线坐标

如前面提到的，我们可以使用曲线坐标沿电场线和隧道边界创建坐标的界面（在一般几何形状的情况下，内置变量的简单表达式X，，，，y， 和z不可行）。在此模型中，几何形状是一个简单的矩形（见图2B参考。1）其中电场线和隧道边界坐标简单X和y， 分别。尽管如此，我们仍然使用曲线坐标此模型中的接口是出于演示目的。二曲线坐标与扩散法在模型构建器中创建选项，一个用于电场线，另一个用于隧道边界，如下屏幕截图所示。

这设置窗口进口边界。

放置进口和出口潜在屏障结构域的另一侧的边界以沿所需坐标变化的方式。两者的解决方案曲线坐标接口如下图所示。

两个解决方案曲线坐标接口。垂直轮廓是电场线的坐标，水平轮廓是隧道边界的坐标。

在此示例中，域2恰好涵盖了跨潜在屏障的线整合的关注区域。通常，感兴趣的区域可以通过在几何形状中绘制的不同边界来定义，这可能与材料边界相吻合。

对于任意的几何形状，解决方案曲线坐标界面可能与电场线坐标完全不一致。但是，它提供了一个良好的近似值，并消除了以数字方式搜索字段线的负担。

上图中显示的解决方案用于定义WKB隧道功能中的坐标变量。有关变量定义，请参见下面的屏幕截图较早的屏幕截图适用于WKB隧道功能设置。

这设置窗口显示隧道变量的定义。

其他用于模拟隧道的物理设置

由于隧道效应对潜在屏障的形状高度敏感，因此我们切换到有限的元素准Fermi水平公式。由于因变量在每个网格元素内是恒定的，因此默认有限量卷配方将需要更细的网格。

在模型树计算和比较有和没有隧道效应的结果。

求解分级的异质结模型

该模型分阶段解决。研究1计算没有隧道的情况。研究2仅求解曲线坐标，因为它们在整个模型中保持不变。

研究3解决了包括隧道效应的情况，并且仅选择了半导体物理学。为了提供良好的初始条件，解决的变量的初始值设置用于指向研究1的解决方案。因为曲线坐标界面不包括在研究步骤中，但隧道功能仍然需要变量的值未解决从研究2中指出解决方案的设置。有关设置的相关设置，请参见下面的屏幕截图。

学习设置。注意明显的使用解决的变量的初始值和变量的值未解决设置。

另外两项研究被用于计算低温病例，同样使用解决的变量的初始值和变量的值未解决设置。非常非线性方程系统通常需要辅助的从有利的初始条件中扫除。在温度较低的情况下，我们发现在I-V曲线从低压到高压的扫描开始时，收敛性更容易。

将仿真结果与参考进行比较

下图显示了在有和没有隧道的情况下，在300 K处的电流密度 - 电压（J-V）曲线的比较。它与图12 in参考。1。

使用和不使用隧道获得的J-V曲线的比较。

为了说明屏障宽度在隧道电流的大小上所起的作用，作者比较了图13中图13中两个偏置电压的传导带图和电子准芬水平，这是我们模型很好地重现的， 如下所示。

两个偏置电压的带图说明了屏障宽度在隧道效应中起起的作用。

最后，下图显示了不同温度下J-V曲线与论文中的图14的良好一致性。

J-V曲线在不同的温度下。

总结思想

在这篇博客文章中，我们使用分级异质结的基准模型演示了WKB隧道功能。我们还展示了如何设置用户定义的三元材料属性。配置的一般技术解决的变量的初始值和变量的值未解决也已经讨论了研究设置，并且可以在许多建模情况下应用。我们很想听听您如何在模拟工作中使用这些功能和技术。

要尝试杂装隧道模型，请单击下面的按钮以访问应用程序库。通过登录您的comsol访问帐户，您可以为188金宝搏优惠此示例和MPH文件下载文档。

参考

1. K. Yang，J.R。East和G.I.HADDAD，“使用热场景发射边界条件对突然杂界的数值建模”，

固态电子产品

，卷。36，不。3，第321–330页，1993年。