纳米线基准的自洽薛定谔-泊松结果

这个薛定谔-泊松方程multiphysics interface模拟具有量子受限电荷载体的系统，如量子阱、导线和点。在这里，我们研究了砷化镓纳米线的基准模型，以演示如何在半导体模块中使用该功能，该模块是COMSOL Multiphysics®软件的附加产品。188金宝搏优惠

薛定谔-泊松方程多物理界面

这个薛定谔-泊松方程从COMSOL multiphysics®5.4版开始提供的multiphysi188金宝搏优惠cs接口在静电学接口和薛定谔方程量子受限系统中电荷载流子模型的接口。静电产生的电势构成薛定谔方程中的势能项。薛定谔方程本征态的概率密度的统计加权和有助于静电学中的空间电荷密度。支持所有空间尺寸（1D、1D轴对称、2D、2D轴对称和3D）。

求解薛定谔-泊松系统

薛定谔-泊松系统的特殊之处在于，静电学需要静态研究，薛定谔方程需要特征值研究。为了求解双向耦合系统，迭代求解薛定谔方程和泊松方程，直到获得自洽解。迭代过程包括以下步骤：

第一步

为了给迭代提供良好的初始条件，我们求解泊松方程

(1)

对于电势，五、，其中\ε是介电常数和\rho是空间电荷密度。

在这个初始化步骤中，\rho由物理参数的最佳初始估计给出；例如，使用托马斯·费米近似。

第二步

电势，五、，从上一步开始，贡献了势能项，V_e，在薛定谔方程中

(2)

哪里Q是载体粒子的电荷，由

(3)

哪里z_q是电话号码和电话号码吗E是基本电荷。

第三步

更新后的势能项由等式2，薛定谔方程求解，产生一组本征能量，尤伊，以及相应的一组归一化波函数，\Psi_i.

第四步

粒子密度分布图，n_u\mathrm{sum}，使用概率密度的统计加权和计算

(4)

如果重量，努伊，通过积分平面外连续态的费米-狄拉克分布给出（因此取决于模型的空间维度）。

(5)

(6)

(7)

哪里古伊是谷简并因子，E_f是费米能级，库布是波尔兹曼常数，T是绝对温度，穆德是状态有效质量的密度，和F_0和F{-1/2}是费米-狄拉克积分。

为了简单起见，在等式4只显示一个索引，我，作为总结。当然，总和中可以有多个索引。例如，在这里讨论的纳米线模型中，求和是在方位量子数和本征能级上（对于每个方位量子数）。

第五步

考虑到粒子密度分布，n_u\mathrm{sum}，我们重新估算了空间电荷密度，\rho，然后重新求解泊松方程为了获得一个新的电势分布图，五、.新空间电荷密度的简单公式

(8)

几乎总是导致迭代的发散。下面给出了一个更好的估计：

(9)

哪里V_u\mathrm{old}是上一次迭代的电势，以及\阿尔法是一个额外的调整参数。等式9由解算器序列用于计算空间电荷密度，\rho.

这个公式是由粒子密度，n_u\mathrm{sum}，是由于V_u\mathrm{old}一旦重新求解泊松方程，得到一个新的五、.换句话说，等式8可以更明确地写为

(10)

自从n_u\mathrm{sum}结果是什么V_u\mathrm{old}和\rho用于重新求解泊松方程，得到一个新的五、.

要实现自洽解决方案，更好的公式是

(11)

在这一点上，n_u\mathrm{sum，new}我们不知道，因为它来自下一次迭代中薛定谔方程的解。然而，我们可以用玻尔兹曼统计量对其进行预测，它提供了势能之间的简单指数关系，V_e=qV，以及粒子密度，n_u\mathrm{sum}.

(12)

这导致了等式9就\阿尔法=0.这在高温下很有效，波尔兹曼统计是一个很好的近似值。在较低的温度下，设置\阿尔法到正数有助于加速收敛。

第六步

一旦有了新的电位分布，五、，通过重新求解泊松方程获得，并将其与上一次迭代的电势进行比较，V_u\mathrm{old}.如果两个轮廓在所需公差范围内一致，则实现自一致性；否则，请转至步骤2继续迭代。

奉献的薛定谔-泊松“研究类型”可用于在解算器序列中自动生成上述步骤。

基准示例：纳米线模型

这个砷化镓纳米线教程模型基于J.H.Luscombe、a.M.Bouchard和M.Luban发表的题为“量子纳米结构中的电子约束：自洽泊松-薛定谔理论”的论文。

假设无限长且圆柱对称，我们选择一维轴对称的空间维数。然后我们选择薛定谔-泊松方程网络环境下的多物理接口半导体分支，它添加了薛定谔方程和静电学与薛定谔-泊松耦合模型生成器中的多物理耦合。

选择薛定谔-泊松方程纳米线模型的界面。

按照本文的描述，纳米线的半径设置为50纳米。将电子有效质量设置为自由电子质量的0.067倍（如本文中费米温度结果所示），并假设介电常数为12.9。模型中的费米能级设置为0 V，壁上的电势设置为0 V−0.7 V，以匹配研究人员描述的费米能级钉扎边界条件。我们模拟了2·10的情况¹⁸厘米^–3在10 K温度下使用均匀的电离掺杂剂，与本文中的图2和图3进行比较。上述数字作为模型中的全局参数输入。

纳米线模型的全局参数。

按照本文的方法，我们首先求解托马斯-费米近似解，然后将其作为完全耦合薛定谔-泊松方程的初始条件。托马斯·费米近似的公式作为局部变量输入模型。

纳米线模型的局部变量。

定义了全局参数和局部变量后，可以直接使用它们填充模型生成器中几何体、材质和物理节点中的各种输入字段。以下是需要注意的几件事：

• 方位量子数m被参数化，以允许对其值进行扫描和求和，如上所述，并输入到设置窗户薛定谔方程物理节点
• 回忆起上一篇关于超晶格带隙的计算特征值标度λ_规模用作无量纲本征值λ的乘法因子，以产生本征能量，尤伊(尤伊= λ_规模λ)
  • 例如，如果λ_规模等于1 eV，则1.23的本征值表示1.23 eV的本征能量
• 对于静电学接口，一个电势如上所述，添加边界条件以设置纳米线壁处的值
• 此外，两个空间电荷密度添加了畴条件，一个用于电离掺杂，另一个用于托马斯·费米近似（后者应在第二个实验中关闭）薛定谔-泊松（研究）

建立薛定谔-泊松多物理耦合

在设置窗户薛定谔-泊松耦合多物理节点，展开方程式部分来查看在这个节点中实现的方程——如果您已经阅读了求解薛定谔-泊松系统以上章节。这个耦合接口设置中的部分允许选择两个耦合的物理接口。这个模型输入部分设置系统的温度，如下面的屏幕截图所示：

上半部设置窗户薛定谔-泊松耦合节点。

这个粒子密度计算第节（下面的屏幕截图）指定了概率密度的统计加权和，如中所述等式4.如果费米-狄拉克统计，抛物线带然后选择等式5–等式7用于计算权重，努伊。用户定义的选项也可用于输入不同的权重表达式。

为了考虑简并方位量子数对（m=±1、±2等），我们使用以下公式1+（m>0）对于简并因子,古伊，m=0时计算为1，m>0时计算为2。

下半部设置窗户薛定谔-泊松耦合节点。

这个电荷密度计算部分（上面的屏幕截图）为充电号码,z_q对于等式3.如果改进的Gummel迭代法然后选择等式9用于计算新的空间电荷密度，\rho。其他选项也可用，包括用户定义的选项，您可以在其中输入自己的数学表达式。

函数的默认表达式全局误差变量,（schrp1.max（abs（V-schrp1.V_old））/1[V]，计算最近两次迭代的电势场之间的最大差值，单位为V。请注意schrp1应该匹配名称的输入字段薛定谔-泊松耦合节点和变量名五、应与静电学界面在更复杂的模型中，这些名称可能会更改为默认名称，如果名称不匹配，表达式将变为黄色。在这种情况下，需要进行一些手动编辑。

建立薛定谔-泊松研究步骤

奉献的薛定谔-泊松研究2下的研究步骤自动生成解算器序列中的自洽迭代。迭代方案概述如下：求解薛定谔-泊松系统在上面

如果我们正在处理一个全新的问题特征频率搜索法菜单下的学习环境节中，通常需要使用默认值手册搜索选项以查找本征能量的范围。一旦找到范围，我们就可以切换到区域搜索选项，并对特征值的范围和数量进行适当设置，以确保解算器找到所有重要的特征状态。对于本教程，估计的能量范围在-0.15到0.05 eV之间。这对应于无单位特征值的-0.15和0.05，如前所述.

输入场的实部和虚部分别指特征值的实部和虚部。为了寻找束缚态的本征能量，我们将实部的输入场设置为预期的能量范围，并将虚部的输入场设置为0左右的小范围，以捕获数值噪声或轻微泄漏的准束缚态，如下所示：

上半部设置窗户薛定谔-泊松学习一步。

正如我们早些时候指出的那样，第二个空间电荷密度域条件仅用于研究1中的Thomas Fermi近似解。因此，根据《基本法》，它被禁用物理与变量选择部分，如上面的屏幕截图所示。

在迭代节的默认选项终止方法下拉菜单是全局变量最小化，它会自动更新一个结果表，该表在求解过程中的每次迭代后显示全局错误变量的历史记录。内置的全局错误变量schrp1。全球错误计算最近两次迭代产生的电势场之间的最大差值，单位为V，如中已配置的薛定谔-泊松耦合多物理节点。（请注意，前缀schrp1应该匹配名称的输入字段薛定谔-泊松耦合节点。）将公差设置为1E-6因此，这意味着迭代在最大差值小于1 uV后结束。有关这些设置，请参见下面的屏幕截图：

下半部设置窗户薛定谔-泊松学习一步。

在因变量的值第二节，我们选择研究1中的托马斯·费米近似解作为本研究的初始条件。然后我们使用辅助扫描求解非负方位量子数列表的功能M.使用公式将负的考虑在内1+（m>0）对于简并因子，古伊,如前所述.专用解算器序列自动执行所有本征态概率密度的统计加权和。

检查自我一致性结果

由于Thomas Fermi近似提供了良好的初始条件，以及由以下公式给出的对空间电荷密度的良好正向估计，解算器在八次迭代中收敛：等式9.电子密度、势能和部分轨道贡献的曲线图与参考文献中发表的图吻合得很好。

将电子密度、势能和部分轨道贡献与参考文献中公布的数字进行比较。

下图显示了电子密度和势能分布中存在的弗里德尔型空间振荡。

放大了电子密度和势能分布的弗里德尔型空间振荡图。

下一步

在这篇博文中，我们展示了薛定谔-泊松方程接口和薛定谔-泊松研究类型以GaAs纳米线基准模型的自洽薛定谔-泊松结果为例，简化了薛定谔-泊松系统的建立和求解。要亲自尝试此模型，请单击下面的按钮进入应用程序库，在那里可以下载本教程的文档和MPH文件。

我们希望您能发现这些新功能很有用，我们也很乐意听到您如何将它们应用到您的研究中。

参考

1. J.H.Luscombe、A.M.Bouchard和M.Luban，“量子纳米结构中的电子约束：自洽泊松-薛定谔理论，”菲斯。牧师。B，第46卷，第16期，第10262页，1992年。